けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

AOJ 3044 Timing (AUPC 2018 day3 F)

整数の三分探索は闇...

問題へのリンク

問題概要

 N 頂点  M 辺の無向グラフが与えられる。時刻 0 に頂点  S を出発し、頂点  G まで移動するのに要する最小時間を求めよ。

  • 各辺にはパラメータ a, b が設定されていて、時刻  t にその辺の片側の頂点から出発した場合、もう片側の頂点には時刻  t + ceil(\frac{b}{t+a}) に到達する
  • 各頂点では任意の非負整数時間を余分に消費することができる

考えたこと

待機した方がいいケースもあることは直感的にわかる。
では、待機もありで普通に Dijkstra すればいいのだろうか...そんな単純だろうか...

というのが第一感で怖かった。でもよく考えたら、どの頂点に対しても、敢えて遅れて到着する意味はないため、その解法でよかった。

あとは、 K が与えられて、


Minimize:  t + ceil(\frac{b}{t+a})

s.t.  t >= K,  t は整数


が解ければいい。三分探索は闇。。。解析的に解くことを試みる。

 k = ceil(\frac{b}{t+a})]

とおいてみる。そうなる最小の整数  t は、 t = ceil(\frac{b}{k}) - a である。この ceil が怖いのだが、もし ceil がなかったら

 t + ceil(\frac{b}{t+a}) = (t + a) + ceil(\frac{b}{t+a}) - a

の形にしてみると、相加相乗不等式によって、

  •  t = \sqrt{b} - a

のときに最小になることがわかる。というわけで大体

  •  t = int(\sqrt{b}) - a

付近を調べようという気持ちになる。一応前後プラスマイナス 1 は試すことにした (それで十分なことはコンテスト中には一応示してはいたけどゴチャゴチャしてる)

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;


#define REP(i, s) for (int i = 0; i < s; ++i)
#define ALL(v) (v.begin(), v.end())
#define COUT(x) cout << #x << " = " << (x) << " (L" << __LINE__ << ")" << endl
#define EACH(i, s) for (__typeof__((s).begin()) i = (s).begin(); i != (s).end(); ++i)

template<class T> inline bool chmax(T& a, T b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<class T> inline bool chmin(T& a, T b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<class T1, class T2> ostream& operator << (ostream &s, pair<T1,T2> P)
{ return s << '<' << P.first << ", " << P.second << '>'; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, vector<T> P)
{ for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { if (i > 0) { s << " "; } s << P[i]; } return s; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, vector<vector<T> > P)
{ for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { s << endl << P[i]; } return s << endl; }



typedef pair<long long, long long> Par;
typedef pair<int, Par> Edge;
vector<vector<Edge> > G;

int N, M, s, g;

inline long long func(long long t, long long a, long long b) {
    return t + (b + t+a-1) / (t+a);
}
inline long long calc(long long K, long long a, long long b) {
    long long sb = (long long)(sqrt(b));
    long long start = max(0LL, sb - a - 2);
    long long res = func(K, a, b);
    for (long long t = start; t < start + 5; ++t) {
        if (t < K) continue;
        res = min(res, func(t, a, b));
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> N >> M >> s >> g;
    --s, --g;
    G.clear(); G.resize(N);
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        int u, v; cin >> u >> v; --u, --v;
        long long a, b; cin >> a >> b;
        G[u].push_back(Edge(v, Par(a, b)));
        G[v].push_back(Edge(u, Par(a, b)));
    }
    
    const long long INF = 1LL<<60;
    vector<long long> dp(N, INF);
    priority_queue<pair<long long,int>, vector<pair<long long,int> >, greater<pair<long long,int> > > que;
    que.push(make_pair(0, s));
    dp[s] = 0;
    while (!que.empty()) {
        auto cur = que.top(); que.pop();
        int v = cur.second;
        long long t = cur.first;
        if (dp[v] < t) continue;
        
        //cout << v << ": " << dp[v] << endl;
        
        for (auto e : G[v]) {
            int to = e.first;
            long long a = e.second.first;
            long long b = e.second.second;
            long long dist = calc(t, a, b);
            if (chmin(dp[to], dist)) que.push(make_pair(dist, to));
        }
    }
    if (dp[g] < INF) cout << dp[g] << endl;
    else cout << -1 << endl;
}