2019-02-21

CS Academy FII Code #1 E - Sugarel’s Garden

CSAcademy 計算幾何三角形点と多角形の包含関係ある量を固定して考える二次元平面上のN点の問題前処理探索順序を工夫して解く制約条件:ちょうどK個浮動小数点型を扱う問題

$O(N^{3} \log{N})$ にはできたけど、 $O(N^{3})$ にできなかった。

問題へのリンク

問題概要

二次元平面上に $N$ 点が与えられる。 $N$ 点から 4 点を選んでできる四角形のうち、内部にちょうど $M$ 個の点をもつものすべてを考えたとき、その面積の最小値を求めよ。

制約

$5 \le N \le 300$
どの 3 点も同一直線上にはない

考えたこと

$O(N^{4})$ すら許されない。。。

四角形は内角が 180 度未満のみなものはもちろんのこと、内角が 180 度を超えるものがあったとしても、対角線を適切に選べば「2 個の三角形が一辺を共有したもの」とみなすことができる。

したがって、まずは三角形について考察しよう。三角形だけでも $O(N^{3})$ 個ある。よって三角形が与えられたときにその内部に何個の点があるのかの判定を $O(N)$ の時間をかけることさえ許されない。

ここがわからなかったのだけど、適切な前処理の下にこれを実行できることを解説を読んでわかった。

三角形の内部に何個の点があるか

発想としては累積和に近い。

任意の線分について、その下に何個の点があるのかを求める (愚直にやっても $O(N^{3})$ になる)

としておけば、三角形 ABC について

線分 AB の下の点の個数
線分 BC の下の点の個数
線分 AC の下の点の個数

を適切に足し引きすることで三角形の内部の点の個数を求めることができる。注意点として、

線分の左端の x 座標は含み
線分の右端の x 座標は含まない

ようにした。さらに最初に点をソートするとき

x 座標については昇順
x 座標が等しい部分について y 座標については降順

とした。

問題に戻り

よって問題は最後には

線分 AB を固定して ([tex: O(N²)] 個)
線分 AB の上側の各点 C について、「ABC の内部の点の個数」と「面積」を求め
線分 AB の下側についても求め
その結果を適切にマージする

という感じで全体として $O(N^{3})$ で解くことができる。

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline void chmin(double &a, double b) { if (a > b) a = b; }

using DD = double;
const DD INF = 1LL<<60;      // to be set appropriately
const DD EPS = 1e-10;        // to be set appropriately
const DD PI = acos(-1.0);
DD torad(int deg) {return (DD)(deg) * PI / 180;}
DD todeg(DD ang) {return ang * 180 / PI;}

/* Point */
struct Point {
    DD x, y;
    Point(DD x = 0.0, DD y = 0.0) : x(x), y(y) {}
    friend ostream& operator << (ostream &s, const Point &p) {return s << '(' << p.x << ", " << p.y << ')';}
};
inline Point operator + (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x + q.x, p.y + q.y);}
inline Point operator - (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x - q.x, p.y - q.y);}
inline Point operator * (const Point &p, DD a) {return Point(p.x * a, p.y * a);}
inline Point operator * (DD a, const Point &p) {return Point(a * p.x, a * p.y);}
inline Point operator * (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x * q.x - p.y * q.y, p.x * q.y + p.y * q.x);}
inline Point operator / (const Point &p, DD a) {return Point(p.x / a, p.y / a);}
inline Point conj(const Point &p) {return Point(p.x, -p.y);}
inline Point rot(const Point &p, DD ang) {return Point(cos(ang) * p.x - sin(ang) * p.y, sin(ang) * p.x + cos(ang) * p.y);}
inline Point rot90(const Point &p) {return Point(-p.y, p.x);}
inline DD cross(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.y - p.y * q.x;}
inline DD dot(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.x + p.y * q.y;}
inline DD norm(const Point &p) {return dot(p, p);}
inline DD abs(const Point &p) {return sqrt(dot(p, p));}
inline DD amp(const Point &p) {DD res = atan2(p.y, p.x); if (res < 0) res += PI*2; return res;}
inline bool eq(const Point &p, const Point &q) {return abs(p - q) < EPS;}
inline bool operator < (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x < q.x : p.y > q.y);}
inline bool operator > (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x > q.x : p.y < q.y);}
inline Point operator / (const Point &p, const Point &q) {return p * conj(q) / norm(q);}

// -1: c が ab から見て下側 (右側)
inline int ccw(const Point &a, const Point &b, const Point &c) {
    if (cross(b-a, c-a) > EPS) return 1;
    if (cross(b-a, c-a) < -EPS) return -1;
    return 0;
}

int N, M;
vector<Point> vp;

inline int calc_num(int i, int j, int k, const vector<vector<int> > &nums) {
    if (ccw(vp[i], vp[k], vp[j]) == 1) {
        return nums[i][j] + nums[j][k] - nums[i][k];
    }
    else {
        return nums[i][k] - nums[i][j] - nums[j][k] - 1;
    }
}

inline double calc_area(const Point &a, const Point &b, const Point &c) {
    return abs(cross(b-a, c-a)) / 2;
}

int main() {
    cin >> N >> M;
    vp.resize(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> vp[i].x >> vp[i].y;
    sort(vp.begin(), vp.end());

    // 下に何個あるか
    vector<vector<int> > nums(N, vector<int>(N, 0));
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int j = i+1; j < N; ++j) {
            Point p = vp[i], q = vp[j];
            if (abs(p.x - q.x) < EPS) continue;
            for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
                if (ccw(p, q, vp[k]) != 1
                    && vp[i].x - EPS <= vp[k].x && vp[k].x < vp[j].x - EPS)
                    ++nums[i][j];
            }
        }
    }

    // 線分を固定しながら
    double res = INF;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int j = i+1; j < N; ++j) {
            vector<vector<double> > area(2, vector<double>(N, INF));
            for (int k = 0; k < i; ++k) {
                int ue = 0;
                if (ccw(vp[i], vp[j], vp[k]) == 1) ue = 1;
                int num = calc_num(k, i, j, nums);
                chmin(area[ue][num], calc_area(vp[i], vp[j], vp[k]));
            }     
            for (int k = i+1; k < j; ++k) {
                int ue = 0;
                if (ccw(vp[i], vp[j], vp[k]) == 1) ue = 1;
                int num = calc_num(i, k, j, nums);
                chmin(area[ue][num], calc_area(vp[i], vp[j], vp[k]));
            }
            for (int k = j+1; k < N; ++k) {
                int ue = 0;
                if (ccw(vp[i], vp[j], vp[k]) == 1) ue = 1;
                int num = calc_num(i, j, k, nums);
                chmin(area[ue][num], calc_area(vp[i], vp[j], vp[k]));
            }
            double tmp = INF;
            for (int k = 0; k <= M; ++k) {
                chmin(tmp, area[0][k] + area[1][M-k]);
            }
            chmin(res, tmp);
        }
    }
    cout << fixed << setprecision(1) << res << endl;
}