けんちょんの競プロ精進記録

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AtCoder AGC 021 B - Holes (600 点)

駅メモ駅メモ駅メモ!!!!!

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問題概要

座標平面上に  N 個の頂点がある。各頂点の座標は  (x_i, y_i) で与えられる。

原点を中心とする半径  10^{10^{10}} の円内の点をランダムに選び、与えられた  N 個の点の中から最も近い距離にある点へと移動する。

各点について、その点へと移動する確率を求めよ。

制約

  •  2 \le N \le 100
  •  -10^{6} \le x_i, y_i \le 10^{6}

考えたこと

ボロノイ図を知っていれば、やりたいことは


 N 個の点についてのボロノイ図を考えたときに、一様ランダムに打った点がそれぞれのボロノイ領域に入る確率を求めよ


ということになる。さてそれで「ボロノイ図ライブラリなんてもってない><」となってはいけない。ボロノイ図

  • 有限エリア
  • 無限エリア

とに分かれる。今回扱う範囲は無限ではないものの、半径  10^{10^{10}} ということで、実質無限だと思って良い。そして実質無限な領域において、有限エリアのボロノイ領域など無に等しいため 0 としてよい。

駅メモ付随の駅ろけサーチというアプリの画像がとてもわかりやすい。この図は日本全国の 9200 個以上の駅に関するボロノイ図を示している。

f:id:drken1215:20190402221922j:plain

こうして見るとほとんどの領域は有限の面積を持っていて、無限遠まで伸びるエリアは限られることがわかる。具体的には下図のように、 N 個の駅の凸包をとったとき、凸包をなす多角形の頂点以外は無視できて、凸包の頂点については、多角形の各辺の垂直二等分線によって区切られる領域が (凸包内部の微妙な部分を除いて) その頂点のボロノイ領域となる。

f:id:drken1215:20190402222703p:plain

また半径  10^{10^{10}} もあるような円全体から見たら、これらの垂直二等分線は、

  • 原点で 1 点で交わっている

としても許される程度の誤差しか生まない。よって、

  • 凸包のなす多角形の各頂点について
  • 多角形の各辺の垂直二等分線のなす角の  2\pi に占める割合が答え

となる。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
using namespace std;

////////////////////////////
// 基本要素 (点, 線分, 円)
////////////////////////////

using DD = double;
const DD INF = 1LL<<60;      // to be set appropriately
const DD EPS = 1e-10;        // to be set appropriately
const DD PI = acos(-1.0);
DD torad(int deg) {return (DD)(deg) * PI / 180;}
DD todeg(DD ang) {return ang * 180 / PI;}

/* Point */
struct Point {
    DD x, y;
    Point(DD x = 0.0, DD y = 0.0) : x(x), y(y) {}
    friend ostream& operator << (ostream &s, const Point &p) {return s << '(' << p.x << ", " << p.y << ')';}
};
inline Point operator + (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x + q.x, p.y + q.y);}
inline Point operator - (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x - q.x, p.y - q.y);}
inline Point operator * (const Point &p, DD a) {return Point(p.x * a, p.y * a);}
inline Point operator * (DD a, const Point &p) {return Point(a * p.x, a * p.y);}
inline Point operator * (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x * q.x - p.y * q.y, p.x * q.y + p.y * q.x);}
inline Point operator / (const Point &p, DD a) {return Point(p.x / a, p.y / a);}
inline Point conj(const Point &p) {return Point(p.x, -p.y);}
inline Point rot(const Point &p, DD ang) {return Point(cos(ang) * p.x - sin(ang) * p.y, sin(ang) * p.x + cos(ang) * p.y);}
inline Point rot90(const Point &p) {return Point(-p.y, p.x);}
inline DD cross(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.y - p.y * q.x;}
inline DD dot(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.x + p.y * q.y;}
inline DD norm(const Point &p) {return dot(p, p);}
inline DD abs(const Point &p) {return sqrt(dot(p, p));}
inline DD amp(const Point &p) {DD res = atan2(p.y, p.x); if (res < 0) res += PI*2; return res;}
inline bool eq(const Point &p, const Point &q) {return abs(p - q) < EPS;}
inline bool operator < (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x < q.x : p.y < q.y);}
inline bool operator > (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x > q.x : p.y > q.y);}
inline Point operator / (const Point &p, const Point &q) {return p * conj(q) / norm(q);}

/* Line */
struct Line : vector<Point> {
    Line(Point a = Point(0.0, 0.0), Point b = Point(0.0, 0.0)) {
        this->push_back(a);
        this->push_back(b);
    }
    friend ostream& operator << (ostream &s, const Line &l) {return s << '{' << l[0] << ", " << l[1] << '}';}
};

/* Circle */
struct Circle : Point {
    DD r;
    Circle(Point p = Point(0.0, 0.0), DD r = 0.0) : Point(p), r(r) {}
    friend ostream& operator << (ostream &s, const Circle &c) {return s << '(' << c.x << ", " << c.y << ", " << c.r << ')';}
};


///////////////////////
// 多角形アルゴリズム
///////////////////////

// 凸包
vector<pair<Point, int> > ConvexHull(vector<pair<Point, int>> &ps) {
    int n = (int)ps.size();
    vector<pair<Point, int> > res(2*n);
    sort(ps.begin(), ps.end());
    int k = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (k >= 2) {
            while (cross(res[k-1].first - res[k-2].first, ps[i].first - res[k-2].first) < EPS) {
                --k;
                if (k < 2) break;
            }
        }
        res[k].first = ps[i].first;
        res[k].second = ps[i].second;
        ++k;
    }
    int t = k+1;
    for (int i = n-2; i >= 0; --i) {
        if (k >= t) {
            while (cross(res[k-1].first - res[k-2].first, ps[i].first - res[k-2].first) < EPS) {
                --k;
                if (k < t) break;
            }
        }
        res[k].first = ps[i].first;
        res[k].second = ps[i].second;
        ++k;
    }
    res.resize(k-1);
    return res;
}



int main() {
    int N; cin >> N;
    vector<pair<Point, int>> vp(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> vp[i].first.x >> vp[i].first.y, vp[i].second = i;
    
    auto ch = ConvexHull(vp);
    int n = (int)ch.size();
    
    vector<DD> res(N);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int id = ch[i].second;
        Point prev = rot90(ch[(i-1+n)%n].first - ch[i].first);
        DD prevang = amp(prev);
        Point next = rot90(ch[i].first - ch[(i+1)%n].first);
        DD nextang = amp(next);
        DD ang = nextang - prevang;
        if (ang < 0) ang += PI * 2;
        
        DD prob = ang / (PI * 2);
        res[id] = prob;
    }
    
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        cout << fixed << setprecision(10) << res[i] << endl;
    }
}