Codeforces 554 DIV2 D. Neko and Aki's Prank (R2000)

こどふぉらしい問題という感じかな。脈略のないような対象が継接ぎされた感じの問題 ^^;

問題へのリンク

問題概要

長さ の整合のとれたカッコ列全部を集めた集合についての trie 木を作る。

この trie 木上の最大マッチングのサイズを 1000000007 で割ったあまりを求めよ。

制約

• 

考えたこと

最初に「最大マッチングサイズを 1000000007 で割ったあまり」というフレーズを二度見した。どんだけ巨大なグラフなんだろと。。。

でも確かに、求めたい trie 木はリーフの数だけでも、カタラン数、つまり

• 通り

となる (リーフの個数は長さ の整合カッコ列の個数)。 ともなれば途方もないツリーサイズになる。

さて、それはともかくとして、ツリーのマッチングは葉から順番にとっていく Greedy でできる。最近その関連の出題多いかも。これとかも

atcoder.jp

で、今回の問題の特徴として、各リーフまでの root からの深さが で共通なので、すごく数えやすい。具体的には

• 深さ のノード数
• 深さ のノード数
• 深さ のノード数
• ...
• 深さ のノード数

を合計すれば良いだけであることが、図を描くとわかる。よって

• dp[ i ][ v ] := 長さ i のカッコ列であって、'(' の残り数が v であるようなものの個数

として、i = 1, 3, ... に応じて適切な v の合計値をとれば OK。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) v += MOD;
    }
    constexpr int getmod() { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b; swap(a, b);
            u -= t * v; swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        return is >> x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        auto t = modpow(a, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * a;
        return t;
    }
};



// 二項係数ライブラリ
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        int MOD = fact_[0].getmod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};


const int MAX = 2100;
const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;

int main() {
    int N;
    while (cin >> N) {
        vector<vector<mint> > dp(N*2+1, vector<mint>(N+1, 0));
        dp[0][0] = 1;
        for (int n = 0; n < N*2; ++n) {
            for (int p = 0; p <= N; ++p) {
                if (p+1 <= N) dp[n+1][p+1] += dp[n][p];
                if (p-1 >= 0) dp[n+1][p-1] += dp[n][p];
            }
        }
        mint res = 0;
        for (int n = 1; n < N*2; n += 2) {
            for (int p = 0; p <= N; ++p) {
                if (N*2 - n >= p) res += dp[n][p];
            }
        }
        cout << res << endl;
    }
}