こどふぉらしい問題という感じかな。脈略のないような対象が継接ぎされた感じの問題 ^^;
問題概要
長さ の整合のとれたカッコ列全部を集めた集合についての trie 木を作る。
この trie 木上の最大マッチングのサイズを 1000000007 で割ったあまりを求めよ。
制約
考えたこと
最初に「最大マッチングサイズを 1000000007 で割ったあまり」というフレーズを二度見した。どんだけ巨大なグラフなんだろと。。。
でも確かに、求めたい trie 木はリーフの数だけでも、カタラン数、つまり
- 通り
となる (リーフの個数は長さ の整合カッコ列の個数)。 ともなれば途方もないツリーサイズになる。
さて、それはともかくとして、ツリーのマッチングは葉から順番にとっていく Greedy でできる。最近その関連の出題多いかも。これとかも
で、今回の問題の特徴として、各リーフまでの root からの深さが で共通なので、すごく数えやすい。具体的には
- 深さ のノード数
- 深さ のノード数
- 深さ のノード数
- ...
- 深さ のノード数
を合計すれば良いだけであることが、図を描くとわかる。よって
- dp[ i ][ v ] := 長さ i のカッコ列であって、'(' の残り数が v であるようなものの個数
として、i = 1, 3, ... に応じて適切な v の合計値をとれば OK。
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; template<int MOD> struct Fp { long long val; constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) { if (val < 0) v += MOD; } constexpr int getmod() { return MOD; } constexpr Fp operator - () const noexcept { return val ? MOD - val : 0; } constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; } constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; } constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; } constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; } constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept { val += r.val; if (val >= MOD) val -= MOD; return *this; } constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept { val -= r.val; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept { val = val * r.val % MOD; return *this; } constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b; swap(a, b); u -= t * v; swap(u, v); } val = val * u % MOD; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept { return this->val == r.val; } constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept { return this->val != r.val; } friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept { return os << x.val; } friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD>& x) noexcept { return is >> x.val; } friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept { if (n == 0) return 1; auto t = modpow(a, n / 2); t = t * t; if (n & 1) t = t * a; return t; } }; // 二項係数ライブラリ template<class T> struct BiCoef { vector<T> fact_, inv_, finv_; constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) { int MOD = fact_[0].getmod(); for(int i = 2; i < n; i++){ fact_[i] = fact_[i-1] * i; inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i); finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i]; } } constexpr T com(int n, int k) const noexcept { if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0; return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k]; } constexpr T fact(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return fact_[n]; } constexpr T inv(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return inv_[n]; } constexpr T finv(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return finv_[n]; } }; const int MAX = 2100; const int MOD = 1000000007; using mint = Fp<MOD>; int main() { int N; while (cin >> N) { vector<vector<mint> > dp(N*2+1, vector<mint>(N+1, 0)); dp[0][0] = 1; for (int n = 0; n < N*2; ++n) { for (int p = 0; p <= N; ++p) { if (p+1 <= N) dp[n+1][p+1] += dp[n][p]; if (p-1 >= 0) dp[n+1][p-1] += dp[n][p]; } } mint res = 0; for (int n = 1; n < N*2; n += 2) { for (int p = 0; p <= N; ++p) { if (N*2 - n >= p) res += dp[n][p]; } } cout << res << endl; } }