けんちょんの競プロ精進記録

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AtCoder AGC 002 F - Leftmost Ball (1600 点)

すごく楽しかった。

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問題概要

 1, 2, \dots, N のボールがそれぞれ  K 個ずつあります。
 NK 個のボールを好きな順序で並べ、各色について最も左側にあるボールを色  0 へと塗り替えました。 最終的な色の並びとして考えられる個数を 1000000007 で割ったあまりを求めよ。

制約

  •  1 \le N, K \le 2000

最終的に出来上がるものを新たに特徴付ける

まず問題設定から自然に、

「最初にボールを並べておいて、各色について最も左にあるボールを色 0 に塗るという風にしたときに、「もともと一緒だったものがどの程度重複するか」を表す重複度ごとに数え上げて、それぞれについて重複度で割って集計する」

という方針が脳裏をよぎってしまう。しかしこれではどうしても上手くいかない。重複度としてあり得るパターンがたくさんありすぎるし、それらをピンポイントに数え上げることなどできそうもない...

そこで重複度に関する考察をやめてしまい、最終的に出来上がる色列に対して、新たなわかりやすい特徴づけを与えようと頑張るのがよさそう。

最終的に出来上がる色列への新たな特徴付け

とりあえず、最終的に出来上がる列において、色の初出順が N, N-1, ..., 1 となっているものを数えて、あとで  N! をかけることにする。このとき、最終的に出来上がるものは下図のような感じ

f:id:drken1215:20190514004445p:plain

つまりは図の黄色マスを入れていく度に、その後の自由度が増す。こういうのを数え上げたい。これは実はある種のトポロジカルソート数え上げになっている。つまり

  • 色 i のボールは、色 i の黄色マスより後ろでなければならない

という形の制約でボールを並び替える問題になっている。そう思うとなんかできそう。トポロジカルソートの数え上げは、特殊なものであれば、割と「シンクに近い方から埋めていって、順序を遡るごとに、それがどこに挿入できるかを考える」というタイプの走査で数え上げられるイメージがある。

  • dp[ i ][ j ] := 色 i までを並べたときに、色 i の前に j 個のボールがある場合についての場合の数

としてあげる。初期条件は

  • dp[ 1 ][ 1 ] = 1

とかでよさそう。さて、i + 1 を並べるとき、i + 1 の初出は i の初出より早くなければならない。このとき、k <= j + 1 に対して、

  • dp[ i + 1 ][ k ] += dp[ i ][ j ] × C(iK-k+1 + K - 2, K - 2)

ということになる。このままだと O(N^{3}) かかってしまいそうだが、

  • dp[ i + 1 ][ k ] = sum_{ j >= k-1 } (dp[ i ][ j ]) × C(iK-k+1 + K - 2, K - 2)

という風にまとめると、累積和が使える形になっている。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) v += MOD;
    }
    constexpr int getmod() { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b; swap(a, b);
            u -= t * v; swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        return is >> x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        auto t = modpow(a, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * a;
        return t;
    }
};



// 二項係数ライブラリ
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        int MOD = fact_[0].getmod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MAX = 5000000;
const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;

mint solve(int N, int K) {
    BiCoef<mint> bc(MAX);

    if (K == 1) return 1;
    vector<vector<mint> > dp(N+2, vector<mint>(N+1, 0)), sdp(N+1, vector<mint>(N+2, 0));
    dp[1][1] = 1;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        for (int j = 0; j < N+1; ++j) sdp[i][j+1] = sdp[i][j] + dp[i][j];
        for (int k = 1; k <= N; ++k) {
            dp[i+1][k] = (sdp[i][N+1] - sdp[i][k-1]) * bc.com((i+1)*K - k - 1, K - 2);
        }
    }
    mint res = 0;
    for (int k = 1; k <= N; ++k) res += dp[N][k];
    return res * bc.fact(N);
}

int main() {
    int N, K; cin >> N >> K;
    cout << solve(N, K) << endl;
}