けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

AtCoder ABC 127 E - Cell Distance (500 点)

何をしたらよいかがすぐに見えてくる典型だけど、かなり手こずった

問題へのリンク

問題概要

整数  N, M, K があたえられる。
 N \times M のグリッドから  K 個を選んでコマを置く  {}_{NM}{\rm C}_{K} 通りの方法それぞれに対して

  •  {}_{K}{\rm C}_{2} 通りのコマにペアそれぞれについてのマンハッタン距離の総和

を求め、その総和を求めよ (1000000007 で割ったあまりで)。

制約

  •  2 \le NM \le 2 \times 10^{5}

各要素に注目

この手の「A 全体を調べたときのの B の総和」みたいな問題では、やるべきことはもうほぼ決まっている。これを B 全体を動かすのではなく、B の各要素 b ごとに A 全体を調べたときの総和を b ごとに累計するのだ。今回の問題で言えば


 {}_{NM}{\rm C}_{2} 個のマスのペアそれぞれについて、そのマンハッタン距離が何回合計されるかを考える


という風に考えると見通しがよくなる。さて、まずはこの回数自体はすぐにわかる。すなわち  K 個選ぶうちの  2 個が決まっているので、残りを選べばよく

  •  {}_{NM-2}{\rm C}_{K-2}

である。よって問題は、


 NM マスから  2 個選ぶペアそれぞれについてのマンハッタン距離の総和を求めよ


という問題に帰着されたのだ (この答えに  {}_{NM-2}{\rm C}_{K-2} を掛ければよい)

x 軸と y 軸を独立に

しかしまだ、このままでは  O(N^{2}M^{2}) の計算時間がかかってしまう。ここで、次なる方針は

  • x 軸方向と y 軸方向とに分けて考える

というもの。マンハッタン距離に関する問題でしばしば見られる。 {}_{NM}{\rm C}_{2} 通りのうち、

  • x 軸方向の距離が  i
  • y 軸方向の距離が  j

となっているものが何通りあるかを数えることにする。まず

  • x 軸方向が  N-i 通り
  • y 軸方向が  M-j 通り

あり、 i j 0 でない場合にはさらに  2 倍になる。よって

  •  i j 0 でないとき、 2(N-i)(M-j)(i+j)
  • そうでないとき  (N-i)(M-j)(i+j)

を各  i,j に対して合計すれば OK。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;


// modint: mod 計算を int を扱うように扱える構造体
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) v += MOD;
    }
    constexpr int getmod() { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b; swap(a, b);
            u -= t * v; swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        return is >> x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        auto t = modpow(a, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * a;
        return t;
    }
};

// 二項係数ライブラリ
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].getmod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;
BiCoef<mint> bc;


int main() {
    long long N, M, K; cin >> N >> M >> K;
    bc.init(510000);
    mint sum = 0;
    for (int i = 0; i <= N-1; ++i) {
        for (int j = 0; j <= M-1; ++j) {
            mint tmp = mint(N - i) * mint(M - j) * mint(i + j);
            if (i != 0 && j != 0) tmp *= 2;
            sum += tmp;
        }
    }
    cout << sum * bc.com(N*M-2, K-2) << endl;
}