けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

diverta 2019_2 F - Diverta City (900 点)

冷静になれば自然な構成ではあるね...企業コンのラス問だと身構えてしまうのがよくない

問題へのリンク

問題概要

 N 頂点からなる重みつき無向単純完全グラフであって、 N! 通り考えられるハミルトンパスに対して始点と終点が同じものを同一視して得られる  \frac{N!}{2} 通りのパスの重みがすべて異なるものを一つ求めよ。

ただし、出来上がるグラフのすべてのハミルトンパスの重みが  10^{11} 以下でなければならない。

制約

  •  2 \le N \le 10

考えたこと

こういう「〜の重みがすべて異なるようなものを構築せよ」という問題の基本方針は大抵は二進数なんだけどとても  10^{11} ではとても無理だね。

というわけなので、帰納法的な構築を考察してみることにする。 N 頂点のグラフ (上記の重みの最大値が  M) に対して新たな一点を加えるとき、

  •  c_1, c_2, \dots, c_N

をそれぞれ

  •  c_i ( i = 1, 2, \dots, N)
  •  c_i + c_j ( i, j)

がすべて異なるように作れたならば、その新たな点から  N 頂点への重みをそれぞれ

  •  (M+1)c_1, (M+1)c_2, \dots, (M+1)c_N

とすることで目的のグラフを作ることができる。具体的には

  •  c = {1, 2, 4, 7, 12, 20, 29, 38, 52, 73}

とかで行ける。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
template<class T> inline bool chmax(T& a, T b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<class T> inline bool chmin(T& a, T b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; }

const long long w[10] = {1, 2, 4, 7, 12, 20, 29, 38, 52, 73};

long long dp[(1<<10)+1][11];
long long calc(vector<vector<long long> > &G, int N) {
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int bit = 0; bit < (1<<N); ++bit) {
        for (int v = 0; v < N; ++v) {
            if (!(bit & (1<<v))) continue;
            for (int nv = 0; nv < N; ++nv) {
                if (bit & (1<<nv)) continue;
                int nbit = bit | (1<<nv);
                chmax(dp[nbit][nv], dp[bit][v] + G[v][nv]);
            }
        }
    }
    long long res = 0;
    for (int v = 0; v < N; ++v) chmax(res, dp[(1<<N)-1][v]);
    return res;
}

int main() {
    int N; cin >> N;
    vector<vector<long long> > G(N, vector<long long>(N, 0));

    G[0][1] = 1; G[1][0] = 1;
    for (int n = 2; n < N; ++n) {
        long long M = calc(G, n);
        for (int v = 0; v < n; ++v) G[v][n] = G[n][v] = (M+1) * w[v];
    }
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int j = 0; j < N; ++j) cout << G[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
}