こういう風にルートが出てくるの、こどふぉだとよく見るね。

ありがちなのが、長さ $N$ の線分を整数長ごとに分割するとき、分割の中に登場する長さの種類は $O(\sqrt{N})$ 通りしかないとか、そういう形でよく出てくる。

問題概要

整数 $N, K$ が与えれる。
長さ $N$ の正の整数列であって、どの隣り合う二要素の積も $N$ 以下であるようなものの個数を、1000000007 で割ったあまりをもとめよ。

制約

$1 \le N \le 10^{9}$
$2 \le K \le 100$

考えたこと

すごくシンプルで好きな問題！！！！！
そしていかにもルートが出て来そうな雰囲気をもった問題。具体的には例えば $N = 24$ だと

1
2
3
4
5, 6
7, 8
9, 10, 11, 12
13〜24

という風に本質的に 8 種類の数値だけを考えればよいことがわかったりする。そのこころは、例えば

7 も 8 もその次に来れる整数の最大値は 3 で変わらない

という感じ。おおむね $\sqrt{N}$ あたりを境に様相が前後で変わっていて、前半の上から順と、後半の下から順とがペアになっているイメージである。より正確には、上から順にレイヤー $0, 1, 2, \dots, M-1$ という風に分けたとき

レイヤー $i$ の次にこれる数はレイヤー $M-i$ 未満の数である

という風になっている。よってレイヤーの個数は概ね $\lfloor 2\sqrt{N} \rfloor$ 個になっている ( $\lfloor 2\sqrt{N} \rfloor + 1$ 個の場合もあることに注意)

DP へ

上記のようなレイヤー分けができたならば、各レイヤー j に含まれる数値の種類数を num[ j ] とすると、

dp[ i ][ j ] := 長さ i の正数列であって、最後尾のレイヤーが j であるものの個数

として

dp[ i + 1 ][ j ] = ( $\sum_{0 \le k \lt M - j}$ dp[ i ][ k ]) × num[ j ]

として計算できる。このままだと $O(KM^{2}) = O(KN)$ の計算量になってしまうが、DP を累積和を用いて高速化することで $O(KM) = O(K\sqrt{N})$ の計算量になる。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;


// modint: mod 計算を int を扱うように扱える構造体
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) v += MOD;
    }
    constexpr int getmod() { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b; swap(a, b);
            u -= t * v; swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        return is >> x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        auto t = modpow(a, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * a;
        return t;
    }
};


const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;


long long N, K;

mint dp[110][111000];
mint sdp[111000];
long long num[111000];

mint solve() {
    // 各レイヤーの数値の個数
    int iter = 0;
    for (int i = 1; i <= N;) {
        int j = N / i;
        if (i <= j) num[iter++] = 1, ++i; // 前半
        else num[iter++] = N/j - i + 1, i = N/j + 1; // 後半
    }

    // DP
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0][0] = 1;
    for (int k = 0; k < K; ++k) {
        memset(sdp, 0, sizeof(sdp));
        for (int j = 0; j <= iter; ++j) sdp[j+1] = sdp[j] + dp[k][j];
        for (int j = 0; j < iter; ++j) dp[k+1][j] = sdp[iter - j] * mint(num[j]);
    }

    // 集計
    mint res = 0;
    for (int j = 0; j <= iter; ++j) res += dp[K][j];
    return res;
}

int main() {
    cin >> N >> K;
    cout << solve() << endl;
}

けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

AtCoder ABC 132 F - Small Products (黄色, 600 点)

問題概要

制約

考えたこと

DP へ