これ 81 人も通してるのか...

問題概要

$N$ 人の子供がいる。
$K$ 日間にわたって、 $N$ 人の中から $a_{i}$ 人を一様ランダムに選んでクッキーを与える。

$K$ 日分のあらゆるクッキーの配り方を考えたときの「各子供の最終的にもらったクッキーの個数の積」の総和を求めよ。

制約

$1 \le N \le 1000$
$1 \le K \le 20$

解法 (1)：公式解法、積和の言い換え

「積」の総和を求める問題って、やれることがとても限られてるイメージはある。手が出せずに困っていた。とりあえず、解説の方針を覚えておこうと思う。積の総和は、各子供へのクッキーの配り方それぞれについて、「その子供のクッキーをもらった日のうちの 1 日」を選ぶ、という方法の総和をとったものととらえることができる。そうすると元の問題は以下のようになる。

$K \times N$ のマス目を「無地」「白」「黒」に塗る
行 $i$ の「白」と「黒」が合計で $a_{i}$ 個
どの列を見ても黒の個数が 1 個

という方法を数え上げよ

dp[ i ][ j ] := i -1 行目までを決めて、すでに黒く塗られたマスが j 個分あるような場合の数

とすると、i 行目で新たに k 個の黒マスを増やすことにするとき、

黒く塗られたことのない列 (N - j 個) から k 個を選ぶ： C(N - j, k) 通り
残りの列から a[ i ] - k 個を選ぶ： C(N - k, a[ i ] - k) 通り

ということで、

dp[ i + 1 ][ j + k ] += dp[ i ][ j ] × C(N - j, k) × C(N - k, a[ i ] - k)

となる。計算量は $O(KN^{2})$ 。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// modint: mod 計算を int を扱うように扱える構造体
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b; swap(a, b);
            u -= t * v; swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        auto t = modpow(a, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * a;
        return t;
    }
};

// 二項係数ライブラリ
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].getmod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;
BiCoef<mint> bc;

int main() {
    int N, K; cin >> N >> K;
    vector<int> a(K);
    for (int i = 0; i < K; ++i) cin >> a[i];

    bc.init(N+1);
    vector<vector<mint> > dp(K+1, vector<mint>(N+1, 0));
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 0; i < K; ++i) {
        for (int j = 0; j <= N; ++j) {
            for (int k = 0; k <= a[i]; ++k) {
                dp[i+1][j+k] += dp[i][j] * bc.com(N-j, k) * bc.com(N-k, a[i]-k);
            }
        }
    }
    cout << dp[K][N] << endl;
}

解法 (2)：確率変数の積からの発想

maspy さんが多項式で殴ったと聞いて、僕も多項式で殴れるようにしたいと思った。

そもそも問題は $K \times N$ の行列を 0 か 1 で塗る方法を考えるような整理の仕方をするとよさそう。「行 $i$ には $a_{i}$ 個の 1 がある」という条件を満たすように塗るわけだ。さて

マス $(i, j)$ を 1 にするとき $X_{i, j} = 1$ であり、0 にするとき $X_{i, j} = 0$ となるような確率変数 $X_{i, j}$

を考える。サンプル 1 について考えてみる。 $K = 2$ , $N = 3$ なので、求める期待値は

$E \lbrack (X_{1, 1} + X_{2, 1})(X_{1, 2} + X_{2, 2})(X_{1, 3} + X_{2, 3}) \rbrack$
= $E[X_{1, 1} X_{1, 2} X_{1, 3} \rbrack$ + $E[X_{1, 1} X_{1, 2} X_{2, 3} \rbrack$ + $E[X_{1, 1} X_{2, 2} X_{1, 3} \rbrack$ + $E[X_{1, 1} X_{2, 2} X_{2, 3} \rbrack$ + $E[X_{2, 1} X_{1, 2} X_{1, 3} \rbrack$ + $E[X_{2, 1} X_{1, 2} X_{2, 3} \rbrack$ + $E[X_{2, 1} X_{2, 2} X_{1, 3} \rbrack$ + $E[X_{2, 1} X_{2, 2} X_{2, 3} \rbrack$

となる。全部で $K^{N}$ 個の項にわかれるわけだ。しかしよくよく考えてみると、対称性からまとめられるところがある。これらのうち

$1$ 行目から 3 個、 $2$ 行目から 0 個選ぶもの： 1 項 (確率は $1$ )
$1$ 行目から 2 個、 $2$ 行目から 1 個選ぶもの： 3 項 (確率は $\frac{2}{3}$ )
$1$ 行目から 1 個、 $2$ 行目から 3 個選ぶもの： 3 項 (確率は $\frac{1}{3}$ )
$1$ 行目から 0 個、 $2$ 行目から 3 個選ぶもの： 3 項 (確率は $0$ )

という感じになっていて、求める期待値は $1 \times 2 + 3 \times \frac{2}{3} + 3 \times \frac{1}{3} + 1 \times 0 = 4$ と求められる。一般には、確率変数として、それぞれの行から $a, b, c, \dots$ 個ずつ選んであげて、その総和が $N$ になるようにする。