教育的で楽しい

問題概要

長さ $N$ の数列 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{N-1}$ が与えられる。数列中の部分列 (連続でなくてよい) であって、連続する自然数となっているもののうち、最長のものを求めよ。

また、それを復元せよ (添字を答える)。

ex: (3, 3, 4, 7, 5, 6, 8) -> (3, 4, 5, 6) で答えは (1, 3, 5, 6) など

制約

$1 \le N \le 2 \times 10^{5}$

考えたこと

一目見て Greedy にできるタイプの問題ではなくて、DP っぽい走査が必要になりそう。

dp[ i ][ j ] := 最初の i 個までのうち、最後が j (座標圧縮しておく) であるようなものの最長の長さ

とすると、 a[ i ] の対応する番号 (座標圧縮) が k のとき

j != k のとき

chmax(dp[ i + 1 ][ j ], dp[ i ][ j ])　(j != k)

j == k のとき

もし k > 0 であって、a の中に a[ k ] - 1 が含まれているならば、

chmax(dp[ i + 1 ][ j ], dp[ i ][ j ] + 1)

そうでない場合には

dp[ i + 1 ][ j ] = 1

という風になる。

in-place に

さて、よく見ると、i -> i + 1 の更新において、dp[ i ][ j ] の中の更新がおきるような j は一箇所だけであることがわかる。よって、第一添字の i は不要で、in-place な DP で解くことができる。

これによって計算量も $O(N \log{N})$ に落ちる。

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <deque>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <unordered_map>
using namespace std;

template<class T> inline bool chmax(T& a, T b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<class T> inline bool chmin(T& a, T b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; }


int N;
vector<long long> a;

void solve() {
    // 座標圧縮
    vector<long long> vs;
    map<long long, vector<int>> pl;
    for (int i = 0; i < a.size(); ++i) {
        vs.push_back(a[i]);
        pl[a[i]].push_back(i);
    }
    sort(vs.begin(), vs.end());
    vs.erase(unique(vs.begin(), vs.end()), vs.end());

    // DP
    int s = vs.size();
    vector<long long> dp(s+1, 0);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        int it = lower_bound(vs.begin(), vs.end(), a[i]) - vs.begin();
        if (it == 0 || a[i] != vs[it-1] + 1) dp[it] = 1;
        else chmax(dp[it], dp[it-1] + 1);
    }

    long long res = 0;
    long long val = -1;
    for (int i = 0; i <= s; ++i) if (chmax(res, dp[i])) val = vs[i];

    // 復元
    vector<int> ans;
    int end = N;
    for (int i = 0; i < res; ++i) {
        int it = lower_bound(pl[val].begin(), pl[val].end(), end) - pl[val].begin();
        --it;
        ans.push_back(pl[val][it]);
        end = pl[val][it];
        --val;
    }
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    
    cout << res << endl;
    for (int i = 0; i < res; ++i) {
        if (i) cout << " ";
        cout << ans[i]+1;
    }
    cout << endl;
}

int main() {
    while (cin >> N) {
        a.resize(N);
        for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> a[i];
        solve();
    }
}