2020-03-03

AtCoder ABC 157 F - Yakiniku Optimization Problem (橙色, 600 点)

AtCoder ABC-F AtCoder600点計算幾何最適化テク:端点のみを考える最適化テク:解を変形していく(最適性を失わずに) 二分探索アポロニウスの円円と円の交点二次元平面上のN点の問題最適化テク:探索候補を絞る N個からK個を選ぶ設定の問題橙色diff 最小回数・最小個数を求める所要時間を求める問題最適化問題浮動小数点型を扱う問題

ABC 151 F 以来の幾何ですね。ABC 151 F の解法のうち「探索候補として交点を考える」というのが今回もいい感じに使える！

drken1215.hatenablog.com

問題へのリンク

問題概要

二次元平面上に $N$ 個の点 $(x_{i}, y_{i})$ が与えられる。それぞれの点に肉が置いてある。このうちの $K$ 個以上の肉を焼きたい。

今、熱源をどこかに置くことを考える。肉 $i$ は、熱源とのユークリッド距離が $d$ であるとき、焼けるのに $c_{i} \times d$ の時間を要する。

熱源を置く場所を最適化したとき、 $K$ 個以上の肉が焼けるまでの所要時間の最小値を求めよ。

制約

$1 \le K \le N \le 60$

考えたこと

幾何だーーー！！！！！！！！！！
とりあえず問題の形態を眺めると「 $K$ 個の肉が焼けるまでの最大値を最小化したい」という問題...つまり「最大値の最小化」なので、二分探索をしたくなる。つまり、以下の判定問題に落とすのだ

$x$ 秒以内に、 $K$ 個以上の肉を焼くことはできますか？

この判定問題を log 回解けば答えが求まるというわけだ。そしてこの問題はつまりこのような問題になる

中心が $(x_{i}, y_{i})$ で、半径が $\frac{x}{c_{i}}$ であるような $N$ 個の円がある。

これらの円が $K$ 個以上重なっている箇所は存在するか？

幾何パート

幾何では、無限個考えられる探索候補を絞るために、「円の交点だけを考えれば良い」といった絞り方をものすごくよくやる。

もし $K$ 個以上重なっているところがあったとしたら、その領域上の点をとったとき、その点を領域の境界まで動かせるはず。さらに境界に沿って動かしていくと「ある円とある円の交点」に行き着くはず (領域が 1 つの円のみで構成される場合は例外)。よって次のことがいえる

2 つの円の交点
1 つの円の中心 (領域が 1 円のみからなる場合...下図のような場合など)

のみを探索すればよい

こうすると探索候補は $O(N^{2})$ 通りとなり、それぞれの円に包含されるかどうかを調べるのに $O(N)$ 。合計で $O(N^{3})$ となる。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> inline bool chmax(T& a, T b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<class T> inline bool chmin(T& a, T b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; }

////////////////////////////
// 基本要素 (点, 線分, 円)
////////////////////////////

using DD = long double;
const DD INF = 1LL<<60;      // to be set appropriately
const DD EPS = 1e-7;        // to be set appropriately
const DD PI = acosl(-1.0);
DD torad(int deg) {return (DD)(deg) * PI / 180;}
DD todeg(DD ang) {return ang * 180 / PI;}

/* Point */
struct Point {
    DD x, y;
    Point(DD x = 0.0, DD y = 0.0) : x(x), y(y) {}
    friend ostream& operator << (ostream &s, const Point &p) {return s << '(' << p.x << ", " << p.y << ')';}
};
inline Point operator + (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x + q.x, p.y + q.y);}
inline Point operator - (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x - q.x, p.y - q.y);}
inline Point operator * (const Point &p, DD a) {return Point(p.x * a, p.y * a);}
inline Point operator * (DD a, const Point &p) {return Point(a * p.x, a * p.y);}
inline Point operator * (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x * q.x - p.y * q.y, p.x * q.y + p.y * q.x);}
inline Point operator / (const Point &p, DD a) {return Point(p.x / a, p.y / a);}
inline Point conj(const Point &p) {return Point(p.x, -p.y);}
inline Point rot(const Point &p, DD ang) {return Point(cos(ang) * p.x - sin(ang) * p.y, sin(ang) * p.x + cos(ang) * p.y);}
inline Point rot90(const Point &p) {return Point(-p.y, p.x);}
inline DD cross(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.y - p.y * q.x;}
inline DD dot(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.x + p.y * q.y;}
inline DD norm(const Point &p) {return dot(p, p);}
inline DD abs(const Point &p) {return sqrt(dot(p, p));}
inline DD amp(const Point &p) {DD res = atan2(p.y, p.x); if (res < 0) res += PI*2; return res;}
inline bool eq(const Point &p, const Point &q) {return abs(p - q) < EPS;}
inline bool operator < (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x < q.x : p.y < q.y);}
inline bool operator > (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x > q.x : p.y > q.y);}
inline Point operator / (const Point &p, const Point &q) {return p * conj(q) / norm(q);}

/* Line */
struct Line : vector<Point> {
    Line(Point a = Point(0.0, 0.0), Point b = Point(0.0, 0.0)) {
        this->push_back(a);
        this->push_back(b);
    }
    friend ostream& operator << (ostream &s, const Line &l) {return s << '{' << l[0] << ", " << l[1] << '}';}
};

/* Circle */
struct Circle : Point {
    DD r;
    Circle(Point p = Point(0.0, 0.0), DD r = 0.0) : Point(p), r(r) {}
    friend ostream& operator << (ostream &s, const Circle &c) {return s << '(' << c.x << ", " << c.y << ", " << c.r << ')';}
};

// 円の交点
vector<Point> crosspoint(const Circle &e, const Circle &f) {
    vector<Point> res;
    DD d = abs(e - f);
    if (d < EPS) return vector<Point>();
    if (d > e.r + f.r + EPS) return vector<Point>();
    if (d < abs(e.r - f.r) - EPS) return vector<Point>();
    DD rcos = (d * d + e.r * e.r - f.r * f.r) / (2.0 * d), rsin;
    if (e.r - abs(rcos) < EPS) rsin = 0;
    else rsin = sqrt(e.r * e.r - rcos * rcos);
    Point dir = (f - e) / d;
    Point p1 = e + dir * Point(rcos, rsin);
    Point p2 = e + dir * Point(rcos, -rsin);
    res.push_back(p1);
    if (!eq(p1, p2)) res.push_back(p2);
    return res;
}

int N, K;
vector<Point> ps;
vector<DD> c;

DD solve() {
    DD low = 0, high = 1000000;
    for (int _ = 0; _ < 100; ++_) {
        DD x = (low + high) / 2;
        vector<Circle> cs(N);
        for (int i = 0; i < N; ++i) cs[i] = Circle(ps[i], x / c[i]);
        vector<Point> alt;
        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            alt.push_back(ps[i]);
            for (int j = i+1; j < N; ++j) {
                auto cp = crosspoint(cs[i], cs[j]);
                for (auto p : cp) alt.push_back(p);
            }
        }
        bool ok = false;
        for (auto p : alt) {
            int tmp = 0;
            for (int i = 0; i < N; ++i) {
                DD dist = abs(cs[i] - p);
                if (dist <= cs[i].r + EPS) ++tmp;
            }
            if (tmp >= K) ok = true;
        }
        if (ok) high = x;
        else low = x;
    }
    return high;
}

int main() {
    cin >> N >> K;
    ps.resize(N); c.resize(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> ps[i].x >> ps[i].y >> c[i];
    cout << fixed << setprecision(10) << solve() << endl;
}