AOJ-ICPC みを感じる!
問題概要
頂点数 、辺数 の有向グラフが与えられる。頂点 1 から頂点 へとたどり着きたい。以下の 2 種類の操作ができる。
- 頂点 上にいるとき、辺 をたどって、頂点 へと移動する
- 移動に要するコストは 1
- 任意の頂点にいるとき、グラフのすべての辺の向きを反転する
- 反転操作を行うのが 回目 (0-indexed) であるとき、反転に要するコストは
頂点 へと辿り着けることは保証されている。頂点 にたどり着くまでに支払う最小コストを求めよ (大きくなる可能性があるので 998244353 で割ったあまりを出力)。
制約
考えたこと
まず、最終的なコストが
と書けることに注意する。反転を何度もやるとコストが大きい。反転回数が 20 回あたりを超えてくると、もう (反転回数, 辿った辺の本数) の辞書順の結果を最適化すればよくなる (辺の本数は高々 200000 本で 220 はそれを超える)。
しかし注意したいことは、単純にそのままのグラフ上で (反転回数, 辿った辺の本数) を最適化するような DP (Dijkstra) をしてしまうとダメ。途中頂点においては反転回数が 1 だけ大きいものが、最終的な結果をよりよくすることがありうる。しかし反転回数が 2 大きいものが最終結果をよりよくすることはありえない。よって、グラフの各頂点を、「反転回数の偶奇」の情報を付与して拡張すれば OK。
以上をまとめると、次のように解ける。
- 反転回数 20 回以下でできるなら、各頂点を (反転回数, 頂点番号) に拡張したグラフ上で Dijkstra 法
- 反転回数が 20 回を超えるなら、
- 各頂点を (反転回数の偶奇, 頂点番号) に拡張したグラフ上で
- (反転回数, 辺の本数) をコストとした Dijkstra 法
計算量は、頂点数 、辺数 のグラフ上で Dijkstra 法をするので、 となる。
コード
実装上は、上記の場合分けを統一的にやった。グラフの各頂点を
- 反転回数が 0 回
- 反転回数が 1 回
- ...
- 反転回数が 27 回
- 反転回数が 28 回以上の偶数
- 反転回数が 29 回以上の奇数
という具合に 30 倍した拡張グラフ上で、(反転回数, 辺の本数) についての Dijkstra 法。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; template<class T> inline bool chmax(T& a, T b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; } template<class T> inline bool chmin(T& a, T b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; } // modint template<int MOD> struct Fp { long long val; constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) { if (val < 0) val += MOD; } constexpr int getmod() const { return MOD; } constexpr Fp operator - () const noexcept { return val ? MOD - val : 0; } constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; } constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; } constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; } constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; } constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept { val += r.val; if (val >= MOD) val -= MOD; return *this; } constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept { val -= r.val; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept { val = val * r.val % MOD; return *this; } constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b, swap(a, b); u -= t * v, swap(u, v); } val = val * u % MOD; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept { return this->val == r.val; } constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept { return this->val != r.val; } friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept { is >> x.val; x.val %= MOD; if (x.val < 0) x.val += MOD; return is; } friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept { return os << x.val; } friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept { if (n == 0) return 1; if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n); auto t = modpow(r, n / 2); t = t * t; if (n & 1) t = t * r; return t; } friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b, swap(a, b); u -= t * v, swap(u, v); } return Fp<MOD>(u); } }; const int MOD = 998244353; using mint = Fp<MOD>; // 入力 int N, M; using Graph = vector<vector<int>>; vector<Graph> G; const long long INF = 1LL<<60; const int LOG = 30; mint solve() { using pint = pair<int, int>; // (vertex, state) using Cost = pair<long long, long long>; // con, num of edge using Node = pair<Cost, pint>; vector<vector<Cost>> dp(N, vector<Cost>(LOG, Cost(INF, INF))); dp[0][0] = Cost(0, 0); priority_queue<Node, vector<Node>, greater<Node>> que; que.push(Node(dp[0][0], pint(0, 0))); while (!que.empty()) { auto pa = que.top(); que.pop(); long long con = pa.first.first; long long num = pa.first.second; int v = pa.second.first; int state = pa.second.second; if (pa.first > dp[v][state]) continue; // flip { int nstate = (state+1 < LOG ? state+1 : state-1); if (chmin(dp[v][nstate], Cost(con+1, num))) { que.push(Node(dp[v][nstate], pint(v, nstate))); } } // edge for (auto nv : G[state%2][v]) { if (chmin(dp[nv][state], Cost(con, num+1))) { que.push(Node(dp[nv][state], pint(nv, state))); } } } long long ans = INF; for (int state = 0; state < LOG-2; ++state) { if (dp[N-1][state].first == INF) continue; chmin(ans, (1LL<<dp[N-1][state].first) - 1 + dp[N-1][state].second); } if (ans < INF) return ans; Cost tmp = min(dp[N-1][LOG-2], dp[N-1][LOG-1]); mint res = modpow(mint(2), tmp.first) - 1 + tmp.second; return res; } int main() { cin >> N >> M; G.resize(2); for (int i = 0; i < 2; ++i) G[i].assign(N, vector<int>()); for (int i = 0; i < M; ++i) { int x, y; cin >> x >> y; --x, --y; G[0][x].push_back(y); G[1][y].push_back(x); } cout << solve() << endl; }