けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

Codeforces Round #681 (Div. 1) C. Graph Transpositions (R2400)

AOJ-ICPC みを感じる!

問題概要

頂点数  N、辺数  M の有向グラフが与えられる。頂点 1 から頂点  N へとたどり着きたい。以下の 2 種類の操作ができる。

  • 頂点  u 上にいるとき、辺  e = (u, v) をたどって、頂点  v へと移動する
    • 移動に要するコストは 1
  • 任意の頂点にいるとき、グラフのすべての辺の向きを反転する
    • 反転操作を行うのが  k 回目 (0-indexed) であるとき、反転に要するコストは  2^{k}

頂点  N へと辿り着けることは保証されている。頂点  N にたどり着くまでに支払う最小コストを求めよ (大きくなる可能性があるので 998244353 で割ったあまりを出力)。

制約

  •  1 \le N, M \le 2 \times 10^{5}

考えたこと

まず、最終的なコストが

 2^{(反転回数)} - 1 + (辿った辺の本数)

と書けることに注意する。反転を何度もやるとコストが大きい。反転回数が 20 回あたりを超えてくると、もう (反転回数, 辿った辺の本数) の辞書順の結果を最適化すればよくなる (辺の本数は高々 200000 本で 220 はそれを超える)。

しかし注意したいことは、単純にそのままのグラフ上で (反転回数, 辿った辺の本数) を最適化するような DP (Dijkstra) をしてしまうとダメ。途中頂点においては反転回数が 1 だけ大きいものが、最終的な結果をよりよくすることがありうる。しかし反転回数が 2 大きいものが最終結果をよりよくすることはありえない。よって、グラフの各頂点を、「反転回数の偶奇」の情報を付与して拡張すれば OK。

以上をまとめると、次のように解ける。

  • 反転回数 20 回以下でできるなら、各頂点を (反転回数, 頂点番号) に拡張したグラフ上で Dijkstra
  • 反転回数が 20 回を超えるなら、
    • 各頂点を (反転回数の偶奇, 頂点番号) に拡張したグラフ上で
    • (反転回数, 辺の本数) をコストとした Dijkstra

計算量は、頂点数  O(N \log N)、辺数  O(M \log N) のグラフ上で Dijkstra 法をするので、 O(N \log N + M (\log N)^{2}) となる。

コード

実装上は、上記の場合分けを統一的にやった。グラフの各頂点を

  • 反転回数が 0 回
  • 反転回数が 1 回
  • ...
  • 反転回数が 27 回
  • 反転回数が 28 回以上の偶数
  • 反転回数が 29 回以上の奇数

という具合に 30 倍した拡張グラフ上で、(反転回数, 辺の本数) についての Dijkstra 法。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> inline bool chmax(T& a, T b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<class T> inline bool chmin(T& a, T b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; }

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;


// 入力
int N, M;
using Graph = vector<vector<int>>;
vector<Graph> G;

const long long INF = 1LL<<60;
const int LOG = 30;
mint solve() {
    using pint = pair<int, int>; // (vertex, state)
    using Cost = pair<long long, long long>; // con, num of edge
    using Node = pair<Cost, pint>;
    vector<vector<Cost>> dp(N, vector<Cost>(LOG, Cost(INF, INF)));
    dp[0][0] = Cost(0, 0);
    priority_queue<Node, vector<Node>, greater<Node>> que;
    que.push(Node(dp[0][0], pint(0, 0)));
    while (!que.empty()) {
        auto pa = que.top(); que.pop();
        long long con = pa.first.first;
        long long num = pa.first.second;
        int v = pa.second.first;
        int state = pa.second.second;
        if (pa.first > dp[v][state]) continue;

        // flip
        {
            int nstate = (state+1 < LOG ? state+1 : state-1);
            if (chmin(dp[v][nstate], Cost(con+1, num))) {
                que.push(Node(dp[v][nstate], pint(v, nstate)));
            }
        }
        // edge
        for (auto nv : G[state%2][v]) {
            if (chmin(dp[nv][state], Cost(con, num+1))) {
                que.push(Node(dp[nv][state], pint(nv, state)));
            }
        }
    }
    long long ans = INF;
    for (int state = 0; state < LOG-2; ++state) {
        if (dp[N-1][state].first == INF) continue;
        chmin(ans, (1LL<<dp[N-1][state].first) - 1 + dp[N-1][state].second);
    }
    if (ans < INF) return ans;

    Cost tmp = min(dp[N-1][LOG-2], dp[N-1][LOG-1]);
    mint res = modpow(mint(2), tmp.first) - 1 + tmp.second;
    return res;
}

int main() {
    cin >> N >> M;
    G.resize(2);
    for (int i = 0; i < 2; ++i) G[i].assign(N, vector<int>());
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        int x, y; cin >> x >> y; --x, --y;
        G[0][x].push_back(y);
        G[1][y].push_back(x);
    }
    cout << solve() << endl;
}