文字列の連続した部分文字列を数え上げるのは Suffix Array の典型問題。それを少し応用した面白い問題！

問題へのリンク

問題概要

英小文字からなる 2 つの文字列 $A, B$ が与えられる。次の条件を満たす文字列の個数を求めよ。

$A$ 中に連続した部分文字列として含まれる
$B$ 中に連続した部分文字列として含まれない

制約

$1 \le |A|, |B| \le 10^{5}$

考えたこと

前提となる問題がこちら。

drken1215.hatenablog.com

さて、2 つの文字列にまたがる文字列検索について考える問題では、

$S$ = $A$ + "?" + $B$

というように、 $A, B$ を連結させた文字列について Suffix Array を求めるのは常套手段。

たとえば、 $A$ = "abcab"、 $B$ = "bcab" のとき、接尾辞配列は次のようになる。

0: 10, 
1: 5, ?bcab
2: 8, ab
3: 3, ab?bcab
4: 0, abcab?bcab
5: 9, b
6: 4, b?bcab
7: 6, bcab
8: 1, bcab?bcab
9: 7, cab
10: 2, cab?bcab

このうち、"?" を含む suffix たち (それ以外は文字列 $B$ に関するものなのでスキップ) について、次のルールで集計していくことにする。

今考えている suffix の prefix として考えられる文字列のうち

"?" を含むものは除外する
Suffix Array のより後方にある suffix の prefix となり得るものは除外する
Suffix Array のより前方にある suffix のうち、index が B 側にあるものの prefix となり得るものも除外する

具体的には、

1 を考慮すると、個数は add = N - sa[i] と表せる
2, 3 をそれぞれ考慮して、その最大値を sub として、add から sub を引くことにする
- 2 を考慮すると、chmax(sub, lcp[i]) と表せる
- 3 を考慮すると、Suffix Array において直前の B 由来の index を prev として、chmax(sub, lcp(sa[i], prev)) と表せる

そうして、add - sub の値の総和をとったものが答えとなる。

全体として、 $O(N \log N)$ の計算量で求められる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using pint = pair<int, int>;
using pll = pair<long long, long long>;
template<class T> inline bool chmax(T& a, T b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<class T> inline bool chmin(T& a, T b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; }

#define REP(i, n) for (long long i = 0; i < (long long)(n); ++i)
#define REP2(i, a, b) for (long long i = a; i < (long long)(b); ++i)
#define COUT(x) cout << #x << " = " << (x) << " (L" << __LINE__ << ")" << endl
template<class T1, class T2> ostream& operator << (ostream &s, pair<T1,T2> P)
{ return s << '<' << P.first << ", " << P.second << '>'; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, vector<T> P)
{ for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { if (i > 0) { s << " "; } s << P[i]; } return s; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, deque<T> P)
{ for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { if (i > 0) { s << " "; } s << P[i]; } return s; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, vector<vector<T> > P)
{ for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { s << endl << P[i]; } return s << endl; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, set<T> P)
{ for(auto it : P) { s << "<" << it << "> "; } return s; }
template<class T1, class T2> ostream& operator << (ostream &s, map<T1,T2> P)
{ for(auto it : P) { s << "<" << it.first << "->" << it.second << "> "; } return s; }

// Sparse Table
template<class MeetSemiLattice> struct SparseTable {
    vector<vector<MeetSemiLattice> > dat;
    vector<int> height;
    
    SparseTable() { }
    SparseTable(const vector<MeetSemiLattice> &vec) { init(vec); }
    void init(const vector<MeetSemiLattice> &vec) {
        int n = (int)vec.size(), h = 0;
        while ((1<<h) < n) ++h;
        dat.assign(h, vector<MeetSemiLattice>(1<<h));
        height.assign(n+1, 0);
        for (int i = 2; i <= n; i++) height[i] = height[i>>1]+1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) dat[0][i] = vec[i];
        for (int i = 1; i < h; ++i)
            for (int j = 0; j < n; ++j)
                dat[i][j] = min(dat[i-1][j], dat[i-1][min(j+(1<<(i-1)),n-1)]);
    }
    
    MeetSemiLattice get(int a, int b) {
        return min(dat[height[b-a]][a], dat[height[b-a]][b-(1<<height[b-a])]);
    }
};

// SA-IS (O(N))
template<class Str> struct SuffixArray {
    // data
    Str str;
    vector<int> sa;    // sa[i] : the starting index of the i-th smallest suffix (i = 0, 1, ..., n)
    vector<int> rank;  // rank[sa[i]] = i
    vector<int> lcp;   // lcp[i]: the lcp of sa[i] and sa[i+1] (i = 0, 1, ..., n-1)
    SparseTable<int> st;  // use for calcultating lcp(i, j)

    // getter
    int& operator [] (int i) {
        return sa[i];
    }
    vector<int> get_sa() { return sa; }
    vector<int> get_rank() { return rank; }
    vector<int> get_lcp() { return lcp; }

    // constructor
    SuffixArray(const Str& str_) : str(str_) {
        build_sa();
    }
    void init(const Str& str_) {
        str = str_;
        build_sa();
    }
    void build_sa() {
        vector<int> s;
        for (int i = 0; i < (int)str.size(); ++i) {
            s.push_back(str[i] + 1);
        }
        s.push_back(0);
        sa = sa_is(s);
        calcLCP(s);
        buildSparseTable();
    }

    // SA-IS
    // upper: # of characters 
    vector<int> sa_is(vector<int> &s, int upper = 256) {
        int N = (int)s.size();
        if (N == 0) return {};
        else if (N == 1) return {0};
        else if (N == 2) {
            if (s[0] < s[1]) return {0, 1};
            else return {1, 0};
        }

        vector<int> isa(N);
        vector<bool> ls(N, false);
        for (int i = N - 2; i >= 0; --i) {
            ls[i] = (s[i] == s[i + 1]) ? ls[i + 1] : (s[i] < s[i + 1]);
        }
        vector<int> sum_l(upper + 1, 0), sum_s(upper + 1, 0);
        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            if (!ls[i]) ++sum_s[s[i]];
            else ++sum_l[s[i] + 1];
        }
        for (int i = 0; i <= upper; ++i) {
            sum_s[i] += sum_l[i];
            if (i < upper) sum_l[i + 1] += sum_s[i];
        }

        auto induce = [&](const vector<int> &lms) -> void {
            fill(isa.begin(), isa.end(), -1);
            vector<int> buf(upper + 1);
            copy(sum_s.begin(), sum_s.end(), buf.begin());
            for (auto d: lms) {
                if (d == N) continue;
                isa[buf[s[d]]++] = d;
            }
            copy(sum_l.begin(), sum_l.end(), buf.begin());
            isa[buf[s[N - 1]]++] = N - 1;
            for (int i = 0; i < N; ++i) {
                int v = isa[i];
                if (v >= 1 && !ls[v - 1]) {
                    isa[buf[s[v - 1]]++] = v - 1;
                }
            }
            copy(sum_l.begin(), sum_l.end(), buf.begin());
            for (int i = N - 1; i >= 0; --i) {
                int v = isa[i];
                if (v >= 1 && ls[v - 1]) {
                    isa[--buf[s[v - 1] + 1]] = v - 1;
                }
            }
        };
            
        vector<int> lms, lms_map(N + 1, -1);
        int M = 0;
        for (int i = 1; i < N; ++i) {
            if (!ls[i - 1] && ls[i]) {
                lms_map[i] = M++;
            }
        }
        lms.reserve(M);
        for (int i = 1; i < N; ++i) {
            if (!ls[i - 1] && ls[i]) {
                lms.push_back(i);
            }
        }
        induce(lms);

        if (M) {
            vector<int> lms2;
            lms2.reserve(isa.size());
            for (auto v: isa) {
                if (lms_map[v] != -1) lms2.push_back(v);
            }
            int rec_upper = 0;
            vector<int> rec_s(M);
            rec_s[lms_map[lms2[0]]] = 0;
            for (int i = 1; i < M; ++i) {
                int l = lms2[i - 1], r = lms2[i];
                int nl = (lms_map[l] + 1 < M) ? lms[lms_map[l] + 1] : N;
                int nr = (lms_map[r] + 1 < M) ? lms[lms_map[r] + 1] : N;
                bool same = true;
                if (nl - l != nr - r) same = false;
                else {
                    while (l < nl) {
                        if (s[l] != s[r]) break;
                        ++l, ++r;
                    }
                    if (l == N || s[l] != s[r]) same = false;
                }
                if (!same) ++rec_upper;
                rec_s[lms_map[lms2[i]]] = rec_upper;
            }
            auto rec_sa = sa_is(rec_s, rec_upper);

            vector<int> sorted_lms(M);
            for (int i = 0; i < M; ++i) {
                sorted_lms[i] = lms[rec_sa[i]];
            }
            induce(sorted_lms);
        }
        return isa;
    }

    // find min id that str.substr(sa[id]) >= T
    int lower_bound(const Str& T) {
        int left = -1, right = sa.size();
        while (right - left > 1) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (str.compare(sa[mid], string::npos, T) < 0)
                left = mid;
            else
                right = mid;
        }
        return right;
    }

    // find min id that str.substr(sa[id], T.size()) > T
    int upper_bound(const Str& T) {
        int left = -1, right = sa.size();
        while (right - left > 1) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (str.compare(sa[mid], T.size(), T) <= 0)
                left = mid;
            else
                right = mid;
        }
        return right;
    }

    // search
    bool is_contain(const Str& T) {
        int lb = lower_bound(T);
        if (lb >= sa.size()) return false;
        return str.compare(sa[lb], T.size(), T) == 0;
    }

    // find lcp
    void calcLCP(const vector<int> &s) {
        int N = (int)s.size();
        rank.assign(N, 0), lcp.assign(N, 0);
        for (int i = 0; i < N; ++i) rank[sa[i]] = i;
        int h = 0;
        for (int i = 0; i < N - 1; ++i) {
            int pi = sa[rank[i] - 1];
            if (h > 0) --h;
            for (; pi + h < N && i + h < N; ++h) {
                if (s[pi + h] != s[i + h]) break;
            }
            lcp[rank[i] - 1] = h;
        }
    }
    
    // build sparse table for calculating lcp
    void buildSparseTable() {
        st.init(lcp);
    }

    // calc lcp of str.sutstr(a) and str.substr(b)
    int getLCP(int a, int b) {
        return st.get(min(rank[a], rank[b]), max(rank[a], rank[b]));
    }
};

int main() {
    string A, B;
    cin >> A >> B;
    int N = A.size(), M = B.size();

    // Suffix Array の構築
    string S = A + "?" + B;
    SuffixArray<string> suf(S);
    vector<int> sa = suf.get_sa();
    vector<int> lcp = suf.get_lcp();
    
    // 集計
    long long res = 0;
    int prev = -1;
    for (int i = 0; i < sa.size(); ++i) {
        // B 側で始まる場合は、その index を記録しておいてスキップ
        if (sa[i] > N) {
            prev = sa[i];
            continue;
        }
        int add = N - sa[i];
        int sub = 0;
        if (i < lcp.size()) chmax(sub, lcp[i]);
        if (prev > N) chmax(sub, suf.getLCP(sa[i], prev));
        res += add - sub;
    }
    cout << res << endl;
}

けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

CS Academy 073 DIV2 E - Strange Substring

問題概要

制約

考えたこと

コード