けんちょんの競プロ精進記録

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AtCoder ABC 205 E - White and Black Balls (2D, 黄色, 500 点)

カタラン数をわかっていればできる!

問題概要

正の整数  N, M, K が与えられる。黒いボール  M 個と、白いボール  N 個を一列に並べる方法のうち、次の条件を満たすものの個数を 1000000007 で割った余りを求めよ。

【条件】
どの  i = 1, 2, \dots, M + N についても、列の左から  i 個をとったとき、

 (白いボールの個数) - (黒いボールの個数) \le K

が成り立つ

制約

  •  N, M \le 10^{6}

考えたこと

まず、 N \gt M + K の場合は、自明に条件を満たさないので 0 通りである。以降、 N \le M + K としよう。

このとき、求める場合の数は、下図のような  N \times M のグリッドで左下から右上まで至る最短経路のうち、赤い線よりも上に行かないものの個数に一致する (下図は  N = 6,  M = 7,  K = 2 の場合)。

このように、「斜めのラインよりも上には行かないものの個数」を求めるのは、カタラン数においてお馴染みである。カタラン数の意味と、その求め方については、次の記事を参照。

manabitimes.jp

ここに書かれている方法と同様の「折り返しテクニック」によって、「赤い斜めのラインよりも上に行ってしまう経路の個数」も求められる。詳細は公式解説を参照。

結局答えは次のようになる。


 {}_{M+N}\rm{C}_{N} - {}_{M+N}\rm{C}_{N-K-1}


コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};

// Binomial coefficient
template<class mint> struct BiCoef {
    vector<mint> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].get_mod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr mint com(int n, int k) const {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr mint fact(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr mint inv(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr mint finv(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};


int main() {
    const int MOD = 1000000007;
    using mint = Fp<MOD>;
    
    int N, M, K;
    cin >> N >> M >> K;
    if (N > M + K) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    BiCoef<mint> bc(N + M + 10);
    cout << bc.com(N + M, N) - bc.com(N + M, N - K - 1) << endl;
}