面白かった。重み付き Union-Find を使った。
問題概要
0 と 1 と ? のみからなる長さ 
の文字列 
が与えられる。先頭の文字が 1 であることが保証されている。
以下の条件を満たす整数の組 
(
) の個数を求めよ。
- はともに回文数である (11 や 101 など)
XOR 
を計算したとき、 の '?' 以外の部分については値が一致する
制約
考えたこと
のどちらかの桁数は 桁でなければならない。とりあえず の桁数を 桁に固定して考えることにした。
- が 桁未満のときは、求めた個数を全体に合算
- も 桁であるときには、求めた個数を 1/2 にして全体に加算 (
であるものと 
であるものが半数ずつになるため)
の桁数 
を 
のそれぞれについて考えることにする。このとき、 や の各桁の値は 
次元の 0-1 ベクトルとみなせる。この 個の 0-1 変数は
- の最上位の値は 1
- のうち、 桁目より大きいところは に一致 (? 以外)
- と の
桁目の XOR 和は の該当桁に一致 (? 以外)
- と は回文数
という条件を満たすようにする。でもこれは
という 2 タイプの式なので、F2 体上の重み付き Union-Find で管理できる。「根の値の確定しないグループの個数」を として、
通りと求められる。
コード
の計算量となる。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<int MOD> struct Fp {
long long val;
constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
if (val < 0) val += MOD;
}
constexpr int getmod() const { return MOD; }
constexpr Fp operator - () const noexcept {
return val ? MOD - val : 0;
}
constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
val += r.val;
if (val >= MOD) val -= MOD;
return *this;
}
constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
val -= r.val;
if (val < 0) val += MOD;
return *this;
}
constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
val = val * r.val % MOD;
return *this;
}
constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
while (b) {
long long t = a / b;
a -= t * b, swap(a, b);
u -= t * v, swap(u, v);
}
val = val * u % MOD;
if (val < 0) val += MOD;
return *this;
}
constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
return this->val == r.val;
}
constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
return this->val != r.val;
}
friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
is >> x.val;
x.val %= MOD;
if (x.val < 0) x.val += MOD;
return is;
}
friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
return os << x.val;
}
friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
if (n == 0) return 1;
if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
auto t = modpow(r, n / 2);
t = t * t;
if (n & 1) t = t * r;
return t;
}
friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
while (b) {
long long t = a / b;
a -= t * b, swap(a, b);
u -= t * v, swap(u, v);
}
return Fp<MOD>(u);
}
};
const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;
template<class Abel> struct UnionFind {
const Abel UNITY_SUM = 0;
vector<int> par;
vector<Abel> diff_weight;
vector<Abel> val;
vector<int> onum;
UnionFind() { }
UnionFind(int n) : par(n, -1), diff_weight(n, UNITY_SUM)
, val(n, -1), onum(n, 0) {}
int root(int x) {
if (par[x] < 0) return x;
else {
int r = root(par[x]);
diff_weight[x] ^= diff_weight[par[x]];
return par[x] = r;
}
}
Abel calc_weight(int x) {
int rx = root(x);
return diff_weight[x];
}
bool issame(int x, int y) {
return root(x) == root(y);
}
void set(int x, Abel w) {
auto rx = root(x);
auto dw = diff_weight[x];
val[rx] = w ^ dw;
}
bool merge(int x, int y, Abel w = 0) {
w ^= calc_weight(x); w ^= calc_weight(y);
x = root(x), y = root(y);
if (x == y) return false;
if (par[x] > par[y]) swap(x, y);
if (w == 0) onum[x] += onum[y];
else onum[x] += -par[y] - onum[y];
if (val[y] != -1) val[x] = val[y] ^ w;
par[x] += par[y];
par[y] = x;
diff_weight[y] = w;
return true;
}
Abel diff(int x, int y) {
return calc_weight(y) ^ calc_weight(x);
}
int size(int x) {
return -par[root(x)];
}
int get_onum(int x) {
x = root(x);
if (val[x] == -1) return min(onum[x], -par[x] - onum[x]);
else if (val[x] == 0) return onum[x];
else return -par[x] - onum[x];
}
};
mint solve(const string &S) {
mint res = 0;
int N = (int)S.size();
for (int M = 1; M <= N; ++M) {
UnionFind<int> uf(N+M);
auto merge = [&](int i, int j, int w) -> bool {
if (uf.issame(i, j)) {
if (uf.diff(i, j) != w) return false;
else return true;
} else {
w ^= uf.calc_weight(i); w ^= uf.calc_weight(j);
i = uf.root(i), j = uf.root(j);
if (uf.val[i] != -1 && uf.val[j] != -1 && (uf.val[i] ^ uf.val[j]) != w) return false;
uf.merge(i, j, w);
return true;
}
};
bool ok = true;
for (int i = 0; i < N-M; ++i) {
if (S[i] == '0') uf.set(i, 0);
else if (S[i] == '1') uf.set(i, 1);
}
uf.set(0, 1);
uf.set(N, 1);
for (int i = 0; i < N; ++i) if (!merge(i, N-i-1, 0)) ok = false;
for (int i = 0; i < M; ++i) if (!merge(i+N, M-i-1 + N, 0)) ok = false;
for (int i = N-M; i < N; ++i) {
if (S[i] == '0') { if (!merge(i, i+M, 0)) ok = false; }
else if (S[i] == '1') { if (!merge(i, i+M, 1)) ok = false; }
}
if (!ok) continue;
mint tmp = 1;
for (int v = 0; v < N+M; ++v) {
if (uf.root(v) != v) continue;
if (uf.val[v] == -1) tmp *= 2;
}
if (M == N) res += tmp / 2;
else res += tmp;
}
return res;
}
int main() {
string S;
cin >> S;
cout << solve(S) << endl;
}
(重りの場合は 0)
(重りの場合は 0)
以下のみを考えたときの、重りの重さの総和として考えられる最小値
