行列累乗した。デバッグに手こずった。

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問題概要

$1, 2, \dots, N$ の順列 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{N}$ が与えられる。以下の操作を $M$ 回行う。

$i, j$ を選んで $P_{i}$ と $P_{j}$ を swap する

操作列は $(\frac{N(N-1)}{2})^{M}$ 通り考えられるが、それぞれについての $\displaystyle \sum_{i=1}^{N-2} |P_{i} - P_{i+1}|$ の総和を 998244353 で割った余りを求めよ。

制約

$N, M \le 2 \times 10^{5}$

考えたこと

$\displaystyle \sum_{i=1}^{N-2} |P_{i} - P_{i+1}|$ の期待値を求めて、最後に $(\frac{N(N-1)}{2})^{M}$ をかけることにした。

このとき、期待値の線形性から、操作後の $|P_{i} - P_{i+1}|$ の値の期待値を求めて、各 $i$ について合算すれば十分である。ここで、値の組 $(P_{i}, P_{i+1})$ が操作によってどのように変化していくかを考えると、以下の 4 パターンを考えれば十分であることに気づく。なお、初期状態で $P_{i} = a$ , $P_{i+1} = b$ であるとする。

$P_{i}, P_{i+1}$ が $a, b$ である状態 (順序は問わない)
$P_{i}, P_{i+1}$ が $a$ と $b$ 以外である状態 (順序は問わない)
$P_{i}, P_{i+1}$ が $b$ と $a$ 以外である状態 (順序は問わない)
$P_{i}, P_{i+1}$ がいずれも $a$ でも $b$ でもない状態 (順序は問わない)

各グループについて $2, N-2, N-2, {}_{N}\rm{C}_{2}$ 通りあるわけだが、同じグループ内では確率は等しいため、この 4 通りの状態に潰してよいわけだ。

この 4 通りの状態を移り変わる推移図を求めて、行列累乗することによって、 $M$ 回操作後の、上記 4 状態になっている確率を求めることができる。これを用いて、操作後の $|P_{i} - P_{i+1}|$ の値の期待値が求められる。

なお、この求めた確率は $i$ の値によらないので、他の $i$ にも再利用できる。

全体として計算量は $O(N \log M)$ となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// matrix
template<class mint> struct MintMatrix {
    // inner value
    vector<vector<mint>> val;
    
    // constructors
    MintMatrix(int H, int W, mint x = 0) : val(H, vector<mint>(W, x)) {}
    MintMatrix(const MintMatrix &mat) : val(mat.val) {}
    void init(int H, int W, mint x = 0) {
        val.assign(H, vector<mint>(W, x));
    }
    void resize(int H, int W) {
        val.resize(H);
        for (int i = 0; i < H; ++i) val[i].resize(W);
    }
    
    // getter and debugger
    constexpr int height() const { return (int)val.size(); }
    constexpr int width() const { return (int)val[0].size(); }
    vector<mint>& operator [] (int i) { return val[i]; }
    constexpr vector<mint>& operator [] (int i) const { return val[i]; }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const MintMatrix<mint> &mat) {
        os << endl;
        for (int i = 0; i < mat.height(); ++i) {
            for (int j = 0; j < mat.width(); ++j) {
                if (j) os << ", ";
                os << mat.val[i][j];
            }
            os << endl;
        }
        return os;
    }
    
    // comparison operators
    constexpr bool operator == (const MintMatrix &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const MintMatrix &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    
    // arithmetic operators
    constexpr MintMatrix& operator += (const MintMatrix &r) {
        assert(height() == r.height());
        assert(width() == r.width());
        for (int i = 0; i < height(); ++i) {
            for (int j = 0; j < width(); ++j) {
                val[i][j] += r.val[i][j];
            }
        }
        return *this;
    }
    constexpr MintMatrix& operator -= (const MintMatrix &r) {
        assert(height() == r.height());
        assert(width() == r.width());
        for (int i = 0; i < height(); ++i) {
            for (int j = 0; j < width(); ++j) {
                val[i][j] -= r.val[i][j];
            }
        }
        return *this;
    }
    constexpr MintMatrix& operator *= (const mint &v) {
        for (int i = 0; i < height(); ++i)
            for (int j = 0; j < width(); ++j)
                val[i][j] *= v;
        return *this;
    }
    constexpr MintMatrix& operator *= (const MintMatrix &r) {
        assert(width() == r.height());
        MintMatrix<mint> res(height(), r.width());
        for (int i = 0; i < height(); ++i)
            for (int j = 0; j < r.width(); ++j)
                for (int k = 0; k < width(); ++k)
                    res[i][j] += val[i][k] * r.val[k][j];
        return (*this) = res;
    }
    constexpr MintMatrix operator + () const { return MintMatrix(*this); }
    constexpr MintMatrix operator - () const { return MintMatrix(*this) *= mint(-1); }
    constexpr MintMatrix operator + (const MintMatrix &r) const { return MintMatrix(*this) += r; }
    constexpr MintMatrix operator - (const MintMatrix &r) const { return MintMatrix(*this) -= r; }
    constexpr MintMatrix operator * (const mint &v) const { return MintMatrix(*this) *= v; }
    constexpr MintMatrix operator * (const MintMatrix &r) const { return MintMatrix(*this) *= r; }
    
    // pow
    constexpr MintMatrix pow(long long n) const {
        assert(height() == width());
        MintMatrix<mint> res(height(), width()),  mul(*this);
        for (int row = 0; row < height(); ++row) res[row][row] = 1;
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    friend constexpr MintMatrix<mint> pow(const MintMatrix<mint> &mat, long long n) {
        return mat.pow(n);
    }
    
    // gauss-jordan
    constexpr int find_pivot(int cur_rank, int col) const {
        int pivot = -1;
        for (int row = cur_rank; row < height(); ++row) {
            if (val[row][col] != 0) {
                pivot = row;
                break;
            }
        }
        return pivot;
    }
    constexpr void sweep(int cur_rank, int col, int pivot) {
        swap(val[pivot], val[cur_rank]);
        auto ifac = val[cur_rank][col].inv();
        for (int col2 = 0; col2 < width(); ++col2) {
            val[cur_rank][col2] *= ifac;
        }
        for (int row = 0; row < height(); ++row) {
            if (row != cur_rank && val[row][col] != 0) {
                auto fac = val[row][col];
                for (int col2 = 0; col2 < width(); ++col2) {
                    val[row][col2] -= val[cur_rank][col2] * fac;
                }
            }
        }
    }
    constexpr int gauss_jordan(int not_sweep_width = 0) {
        int rank = 0;
        for (int col = 0; col < width(); ++col) {
            if (col == width() - not_sweep_width) break;
            int pivot = find_pivot(rank, col);
            if (pivot == -1) continue;
            sweep(rank++, col, pivot);
        }
        return rank;
    }
    friend constexpr int gauss_jordan(MintMatrix<mint> &mat, int not_sweep_width = 0) {
        return mat.gauss_jordan(not_sweep_width);
    }
    friend constexpr int linear_equation
    (const MintMatrix<mint> &mat, const vector<mint> &b, vector<mint> &res) {
        // extend
        MintMatrix<mint> A(mat.height(), mat.width() + 1);
        for (int i = 0; i < mat.height(); ++i) {
            for (int j = 0; j < mat.width(); ++j) A[i][j] = mat.val[i][j];
            A[i].back() = b[i];
        }
        int rank = A.gauss_jordan(1);
        
        // check if it has no solution
        for (int row = rank; row < mat.height(); ++row) if (A[row].back() != 0) return -1;

        // answer
        res.assign(mat.width(), 0);
        for (int i = 0; i < rank; ++i) res[i] = A[i].back();
        return rank;
    }
    friend constexpr int linear_equation(const MintMatrix<mint> &mat, const vector<mint> &b) {
        vector<mint> res;
        return linear_equation(mat, b, res);
    }
    
    // determinant
    constexpr mint det() const {
        MintMatrix<mint> A(*this);
        int rank = 0;
        mint res = 1;
        for (int col = 0; col < width(); ++col) {
            int pivot = A.find_pivot(rank, col);
            if (pivot == -1) return mint(0);
            res *= A[pivot][rank];
            A.sweep(rank++, col, pivot);
        }
        return res;
    }
    friend constexpr mint det(const MintMatrix<mint> &mat) {
        return mat.det();
    }
};

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr Fp(const Fp &v) : val(v.get()) { }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};


int main() {
    const int MOD = 998244353;
    using mint = Fp<MOD>;
    
    long long N, M;
    cin >> N >> M;
    vector<long long> P(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> P[i], --P[i];
    
    long long NC = N * (N - 1) / 2, N2C = (N - 2) * (N - 3) / 2;
    mint all = mint(NC).pow(M);
    
    if (N == 2) {
        cout << all << endl;
        return 0;
    }
    
    auto Q = P;
    sort(Q.begin(), Q.end());
    vector<long long> left(N+1, 0), right(N+1, 0);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        left[i+1] = left[i] + Q[i];
        right[i+1] = right[i] + Q[N-i-1];
    }
    
    auto calc_sum = [&](long long x) -> long long {
        long long l = lower_bound(Q.begin(), Q.end(), x) - Q.begin();
        return (x * l - left[l]) + (right[N - l] - x * (N - l));
    };
    
    vector<mint> f(N, 0);
    mint S = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        f[i] = calc_sum(P[i]);
        S += f[i];
    }
    
    MintMatrix<mint> A(4, 4);
    A[0][0] = mint(N2C + 1); // / NC;
    A[0][1] = A[0][2] = A[1][2] = A[2][1] = mint(1); // / NC;
    A[1][0] = A[2][0] = mint(N - 2); // / NC;
    A[1][1] = A[2][2] = mint(N2C + N - 2); // / NC;
    A[1][3] = A[2][3] = mint(2); // / NC;
    A[3][1] = A[3][2] = mint(N - 3); // / NC;
    A[3][3] = mint(N2C + N * 2 - 7); // / NC;
    auto AM = pow(A, M);
    
    mint res = 0;
    for (int i = 0; i + 1 < N; ++i) {
        mint diff = abs(P[i] - P[i+1]);
        res += AM[0][0] * diff;
        res += AM[1][0] * (f[i] - diff) / mint(N - 2);
        res += AM[2][0] * (f[i+1] - diff) / mint(N - 2);
        if (N > 3) res += AM[3][0] * (mint(S) / 2 - f[i] - f[i+1] + diff) / mint(N2C);
    }
    cout << res << endl;
}

けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

AtCoder ARC 176 D - Swap Permutation (4D, 橙色, 700 点)

問題概要

制約

考えたこと

コード