2024-03-17

AtCoder ARC 174 C - Catastrophic Roulette (青色, 500 点)

コンテスト中には通しきれなかった。流石に疲れていて頭が働かなかった......これはメモ代わりに記す。

問題へのリンク

問題概要

整数値 $1, 2, \dots, N$ が等確率で出てくるルーレットがある。

先手と後手が交互にルーレットを回す

すべての整数値が揃ったら終了である
すでに出ている整数を出してしまったら、その手番の者が 1 円の罰金を受ける

先手と後手が受ける罰金額の期待値をそれぞれ求めよ。

制約

$1 \le N \le 10^{6}$

考えたこと

最初の先手を 0 手目と考えることにする。

$N = 3$ のときの、 $n$ 手目で罰金を受ける確率を計算すると、

$\displaystyle \frac{2^{n+1} - 3}{3^{n}}$

となった。さらに $N = 4$ のときの、 $n$ 手目で罰金を受ける確率を計算すると、

$\displaystyle \frac{3^{n+1} - 6 \times 2^{n} + 4}{4^{n}}$

となった。ここから、次のように予想した。

一般に、 $n$ 手目で罰金を受ける確率は

$\displaystyle \frac{(N-1)^{n+1} - {}_{N}\mathrm{C}_{2} (N-2)^{n} + {}_{N}\mathrm{C}_{3} (N - 3)^{n} - \dots}{N^{n}}$

この予想をもとにして、

先手は、 $n = 2, 4, 6, \dots$ についての無限級数和
後手は、 $n = 1, 3, 5, \dots$ についての無限級数和

を求めた。この解法の計算量は $O(N)$ となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};

// Binomial coefficient
template<class mint> struct BiCoef {
    vector<mint> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].get_mod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr mint com(int n, int k) const {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr mint fact(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr mint inv(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr mint finv(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;

int main() {
    long long N;
    cin >> N;
    BiCoef<mint> bc(N + 10);
    
    mint sente = mint(N-1) * (N-1)*(N-1) / (N*2-1);
    mint gote = mint(N-1) * N*(N-1) / (N*2-1);
    for (long long k = 2; k < N; ++k) {
        int sign = 1;
        if (k % 2 == 0) sign = -1;
        mint tmp_sente = bc.com(N, k) * (N-k)*(N-k) / (N*k*2 - k*k);
        mint tmp_gote = bc.com(N, k) * N*(N-k) / (N*k*2 - k*k);
        sente += tmp_sente * sign;
        gote += tmp_gote * sign;
    }
    cout << sente << " " << gote << endl;
}