グラフ・盤面・数列の個数の数え上げ
残り 1 分でなんとか通せた。 問題へのリンク 問題概要 頂点数 の連結な単純無向グラフ (頂点番号は であって、次の条件を満たすものの個数を で割ったあまりを求めよ。 なお、ここで、頂点 から各頂点 までの最短距離を としている。 制約 考えたこと グラ…
包除原理を学べる問題！ 問題へのリンク 問題概要 個の文字列 が与えられます。次の手順によって作れる長さ の文字列の個数を 998244353 で割ったあまりを求めてください。 のいずれかを選ぶ 文字列 に含まれる文字のみを使って、長さ の文字列を作る 制約 …
面白かった！！ より一般化した問題 (グラフの頂点集合の任意の部分集合に対して、それらを連結にする辺の選び方の数え上げ) を考えた方が考えやすいね。 問題へのリンク 問題概要 頂点数 、辺数 の単純無向グラフ が与えられます。 の辺集合の部分集合 ( 通…
コンテスト中にアダマール変換を思い出せたのはよかった！ 問題へのリンク 問題概要 整数 と 個の整数 が与えられます。次の条件を満たすような Nim をすべて考えます。 山の個数は のいずれかである 各山の石の個数は のいずれかである このような Nim の盤…
間に合わなかった！！！悔しい！！！ 問題へのリンク 問題概要 長さ の数列 が与えられます。以下の条件を満たすような、長さ の数列 の個数を 998244353 で割ったあまりを答えよ。 制約 考えたこと という条件は扱いづらいので、包除原理でやると良さそう。…
変なところでハマらないようにしたい... 問題へのリンク 問題概要 の順列 が与えられる。いま、これらの順列の各要素に印をつけていくことを考える。ただし、「印のついた要素が左から順に単調増加となるように並んでいる」という条件を常に満たす必要がある…
最初は二次元 FFT が必要な気分になっていて右往左往していた。個数制限なしナップサック問題になるのは面白かった！ 問題へのリンク 問題概要 正の整数 が与えられる。長さ の非負整数列 であって という条件を満たすものの個数を、1000000007 で割ったあま…
こういう数え上げ、大好きすぎる！！！ 問題へのリンク 問題概要 長さ の数列 がある。初期状態ではすべての値が 0 となっている。この数列に以下の操作をちょうど 回行って得られる数列が何通りあるか、998244353 で割ったあまりを求めよ。 となる を選んで…
こういう問題めっちゃ好き！！！ 問題へのリンク editorial 問題概要 '0' と '1' のみからなる長さ の文字列が与えられる。以下の操作を 回以上 回以下まで行うことができる。 i < j であって S[ i ] = '0'、S[ j ] = '1' であるような (i, j) を選ぶ S[ j ]…
DP 高速化系問題 問題へのリンク 問題概要 のグリッドが与えられる。各マス には数値 が書かれている。 各行から 1 個ずつ数値を選んで行順に並べてできる数列を考える。そのような数列は 通り考えられるが、そのうち広義単調増加なものが何通りあるか、1000…
5 + 7 + 5 = 17 なの、よくできてる！ 問題へのリンク 問題概要 正の整数 が与えられる。 以上 以下の数値からなる長さ の数列 であって、以下の条件を満たすものの個数を 1000000007 で割ったあまりを求めよ。 整数 が存在して、 の区間 の総和が の区間 の…
コンテスト本番、こっちをやればよかった...ところで解説が天才すぎる！ 問題へのリンク editorial 問題概要 個の部品と、 個の接続用部品とがある。これらを用いてフィギュアを作ろうとしている。 番目の部品には 個の穴がついている。接続用部品は、2 個の…
結構いろんな考え方のできる問題！ 問題へのリンク 問題概要 頂点数 、辺数 の無向グラフであって、次の条件を満たすものの個数を 1000000007 で割ったあまりを求めよ。 自己ループを持たない すべての頂点の次数が 2 以下である 各連結成分のサイズを並べた…
総和が一定値になるような数列の数え上げ、最近よく見る！ 問題へのリンク 問題概要 整数 が与えられる。 すべての項が 3 以上の整数で、その総和が であるような数列の個数を 1000000007 で割ったあまりを求めよ。 制約 解法 (1)：素直に DP まずは素直な D…
包除原理！！！C 問題としては難しめですね。 問題へのリンク 問題概要 0 以上 9 以下の整数値からなる長さ の数列 であって、 数列中に 0 が含まれる 数列中に 9 が含まれる という条件を満たすものの個数を 1000000007 で割ったあまりを求めよ。 制約 考え…
ゲーは確かに面白いかもしれない。 問題へのリンク 問題概要 長さ の整数列 が与えらる。 同じく長さ の整数列 は、 各 について独立に、 を満たす整数の一様分布からランダムに選ばれる。 このとき、 の最長増加部分列の長さの期待値を mod 1000000007 で計…
面白かった 問題へのリンク 問題概要 の盤面の各マスを T, M, N, P の四色に塗る方法のうち、以下の条件を満たすものが何通りあるか、1000000007 で割ったあまりを求めよ。 どの T マスと M マスについても、M マスは T マスから見て strict に右にあるか、s…
面白かった 問題へのリンク 問題概要 の盤面の各マスを 0 か 1 かで埋めたい。すでに 個のマスについては数字が埋まっている。以下の条件を満たすように残り マスを埋める方法は何通りあるか、998244353 で割ったあまりで求めよ。 一辺の長さが 2 以上な部分…
座標圧縮をがんばる 問題へのリンク 問題概要 個の区間 が与えられる。それぞれの区間から一様ランダムに整数を選んでいく。 これが広義単調減少となる確率を求め、それを 998244353 で割ったあまりの形式で求めよ。 制約 考えたこと 区間の幅は大きいが、 …
こういう風にルートが出てくるの、こどふぉだとよく見るね。 ありがちなのが、長さ の線分を整数長ごとに分割するとき、分割の中に登場する長さの種類は 通りしかないとか、そういう形でよく出てくる。 問題へのリンク 問題概要 整数 が与えれる。 長さ の正…
すごく典型的な「二乗の木 DP」！！！！！ そして包除原理との組み合わせ。 問題へのリンク 問題概要 を偶数とする。 頂点の木が与えられる。 頂点を 組の 2 つペアにする方法のうち、各ペアを結ぶパスをすべて考えたときに全辺が被覆されるようなものの個数…
こういうの素早く解けるようになりたいね。 いわゆる「トポロジカルソート順の数え上げ」という高難易度でたまに見るパターンの問題。 問題へのリンク 問題概要 頂点 辺の無向グラフが与えられる。ここで、辺 が全域木を形成していることが保証されている。 …
本番これを間に合わせられなかったのが悔しい 問題へのリンク 問題概要 円周を 等分して、それぞれの弧を赤か青に塗る方法のうち、 'R' と 'B' のみからなる長さ の文字列 が与えられて 円周上のどの端点から出発しても弧を順番に左右どちらかに 回たどって…
あみだくじ 問題へのリンク 問題概要 縦棒の個数が 、横棒が縦方向に 刻みのあみだくじであって、 番目からスタートすると 番目に到着するようなものを数え上げよ。 制約 考えたこと いかにも DP という感じではあるね。 dp[ i ][ j ] := 縦棒を上から i 刻…
こういうの素早く書けるようになるにはどうしたらいいんだろう... 問題へのリンク 問題概要 'A', 'G', 'C', 'T' のみからなる長さ の文字列のうち、「どの隣接した 2 文字を swap しても "AGC" を連続部分列として含まないもの」が何通りあるか求めよ。 制約…
楽しかった 問題へのリンク 問題概要 未完成の数列 が与えられる。未完成部分には が書かれている。完成部分には 以上 以下の整数が書かれている。 のところを 以上 以下の整数を埋める方法であって、整数列が奇数長の回文を含まないものは何通りあるか? 制…
楽しい！！！好き！！！ 問題へのリンク 問題概要 頂点のグラフを作って各頂点に赤黒に色をつけたい。そのような 通りの方法のうち、以下の条件を満たすような方法が何通りあるか で割ったあまりを求めよ。 どの赤い頂点も、なんらかの黒い頂点とつながって…
約数系包除。かなり教育的要素の多い問題だと思った！！！！！ 操作によって何通りできるのかを問う問題の取り組み方 約数系包除の考え方 問題へのリンク 問題概要 以上 以下の整数からなる数列のうち、以下のようにしてつくられるものは何通りあるか、10000…
少し重たい 問題へのリンク 問題概要 長さ の整数列 が与えられます。 この数列に以下の操作をちょうど 回施します。 添字 を一つ選んで、 を 2 で割る (小数点以下切り捨て) 回の操作のあとの数列としてありうるものの個数を 109+7 で割ったあまりを求めよ…
いろんな解法がありそうなんな 問題へのリンク 問題概要 (ARC 102 E) 整数 が与えられる。各 に対して、 どの に対しても を満たす整数組 の個数を で割った余りを求めよ ( 面サイコロを 個振るという設定)。 制約 解法 1: 漸化式を立ててそれを展開 (本番で…
