OMC 165 F 問題を、競プロする！

OMC 165 F 問題 が面白かったので、競プロの問題として解いてみることにしました！

OMC で出題された原作は、下の問題概要において、 の場合の答えを手計算で求めるというものでした。

問題概要

のグリッドの各マスを白色と黒色に塗り分ける方法のうち、次の条件を満たすものの個数を 998244353 で割った余りを求めよ。

(条件) グリッド上のどの長方形の 4 頂点をなす 4 マスについても、黒色に塗られたマスの個数が 2 個以下である

制約

• 

考えたこと：まず条件を言い換える

各行の番号を上から順に とし、各列の番号を左から順に と書くことにする。

まずは、問題の条件を扱いやすいものに言い換えることを考えよう。一般に、条件を満たすものを数え上げる問題においては、条件をわかりやすく言い換えることで活路を見い出せることが多い。

今回の問題の条件は、次の条件と同値になる。

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2 個以上の黒色マスを含む任意の行 について、行 の任意の黒色マスは、同じ列に自分自身以外の黒色マスを含まない

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標準形を考える

ここで、「条件を満たす塗り分け方」に対して、以下の操作を行なって得られる塗り分け方を、標準形と呼ぶことにする。

• 2 個以上の黒色マスを含む行を小さい順に として、それらの行に存在する黒色マスの列を小さい順に とする
• 各 に対して、行 が 行目に来るように行を並び替える
• 各 に対して、列 が 列目に来るように列を並び替える

このような標準形を であると表記することにする。標準形を得る様子を下図に示す。

また、 であるような同一の標準形を導く塗り分け方は、 通り存在することに注意する。

である標準形の数え上げ

我々の残りのタスクは、各 に対して、 である標準形の個数を数え上げることである。その個数に をかけて、各 に対して総和をとることで、答えが得られる。

である標準形は、上で導いた条件の同値性から、次の性質を満たす。

---

• 上から 行分、左から 列分のなす長方形領域 (左上領域と呼ぶことにする) については
  • どの行も黒色マスが 2 個以上ある
  • どの列も黒色マスがちょうど 1 個ある
• 下から 行分、右から 列分のなす長方形領域 (右下領域と呼ぶことにする) については
  • どの行も黒色マスが 0 個または 1 個である
• それ以外の長方形領域については、すべて白色マスである

---

右下領域については、数え上げは容易で、 通りである。左上領域について考える。

標準形の左上領域の数え上げ

一般に、 である標準形の左上領域の個数を と表すことにすると、次の漸化式が立てられる。

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• 
• ()
• 

---

最後の式は、左上領域の最下行の黒色マスの個数を 個 () であるような場合の数が 通りであることから従う。

この漸化式を用いて、, を満たす に対する の値は DP (動的計画法) によって求められる。その DP に要する計算量は と評価できる。

まとめ

まとめると、次の式の値を求めることで答えが得られる。計算量は である。

コード

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 素数 p で割った余りのなす有限体 Fp を表す構造体
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() noexcept : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const noexcept { return val; }
    constexpr int get_mod() const noexcept { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const noexcept {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const noexcept {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &r, long long n) noexcept {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD> &r) noexcept {
        return r.inv();
    }
};

// Binomial coefficient
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].get_mod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

int main() {
    // 998244353 で割った余りのなす有限体を表す型
    const int MOD = 998244353;
    using mint = Fp<MOD>;
    
    // 入力
    long long H, W;
    cin >> H >> W;
    
    // 二項係数の準備
    BiCoef<mint> bc(W + 1);
    
    // 左上領域の数え上げ
    vector<vector<mint>> dp(H+1, vector<mint>(W+1, 0));
    dp[0][0] = 1;
    for (int k = 1; k <= H; ++k) {
        for (int l = 1; l <= W; ++l) {
            for (int j = 2; j <= l; ++j) {
                dp[k][l] += bc.com(l, j) * dp[k-1][l-j];
            }
        }
    }
    
    // 集計
    mint res = 0;
    for (int K = 0; K <= H; ++K) {
        for (int L = 0; L <= W; ++L) {
            res += bc.com(H, K) * bc.com(W, L) * mint(W-L+1).pow(H-K) * dp[K][L];
        }
    }
    cout << res << endl;
}