2023-06-25

AtCoder ABC 307 F - Virus 2 (黄色, 550 点)

AtCoder 黄色diff ABC-F セグメント木セグメント木上の二分探索 Dijkstra法最短路問題テーマにストーリー性のある面白い問題グラフ多点を扱う問題グラフ上にチェックポイントのある問題各kに対して DP値:ペア値二分探索伝播していく様子をテーマにした問題 AtCoder550点

セグ木上二分探索使ったというコメントをよく見たけど、僕の方針でも使うことになった

問題へのリンク

問題概要

頂点数 $N$ 、辺数 $M$ の単純な重み付き無向グラフが与えられる。

$0$ 日目、 $K$ 個の頂点 $A_{1}, \dots, A_{K}$ がウィルスに感染した。一度ウィルスに感染した頂点はずっと感染したままとなる。

ここで、 $1, 2, \dots, D$ 日目についてのウィルス感染条件を表すパラメータ $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{D}$ が与えられる。

このとき、頂点 $v$ が $d$ 日目に初めてウィルスに感染する条件は、頂点 $v$ に隣接する頂点 $u$ が存在して、

$d-1$ 日目までに頂点 $u$ はウィルスに感染している
辺 $(u, v)$ の重みが $X_{d}$ 以下である

という条件を満たすことである。

各頂点 $1, 2, \dots, N$ に対して、初めてウィルスに感染したのが何日目であるかを答えよ。ただし、 $D$ 日目の時点で感染していない場合は -1 を出力せよ。

制約

$1 \le N \le 3 \times 10^{5}$
$0 \le M \le 3 \times 10^{5}$
$1 \le D \le 3 \times 10^{5}$

考えたこと

ダイクストラっぽい感じでできそうだと思った。基本的には、初期頂点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{K}$ を始点として、最短路を求めていく。

このとき、最短路長が $X_{1}$ を超えたら、 $1$ 日目での感染は不可能なので気を付ける。そこで、各頂点 $v$ に持たせる最短路値として、単に最短路長だけでなく、次のペア値を持たせることにしよう。

$(d_{v}, l_{v})$ ： $d_{v}$ 日目までにウィルス感染した頂点を始点としたときの、頂点 $v$ へと至る長さ $l_{v}$ の経路があることを表す

基本的には、このペア値の辞書式順序に基づいて Dijkstra 法を回せば良い。

ここで問題になるのは、辺 $e = (u, v)$ (重みを $w_{e}$ とする) について緩和するときに、 $d_{v}$ の値が $d_{u}$ の値より大きくする必要のあるケースだ。つまり、

$l_{v} + w_{e} \gt X_{d_{v}+1}$

である場合だ。この場合は、

$d \ge d_{v} + 1$
$X_{d} \ge w_{e}$

を満たす最小の $d$

を求める必要がある (ここでセグメント木上の二分探索が必要に！)。このような $d$ に対して、頂点 $v$ の最短路長を $(d-1, w_{e})$ と比較して更新すればよい。

このような Dijkstra 法の計算量は $O(N + D + M(\log N + \log D))$ となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<class T> inline bool chmax(T& a, T b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<class T> inline bool chmin(T& a, T b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; }

// Segment Tree
template<class Monoid> struct SegTree {
    using Func = function<Monoid(Monoid, Monoid)>;

    // core member
    int SIZE;
    Func F;
    Monoid IDENTITY;
    
    // data
    int offset;
    vector<Monoid> dat;

    // constructor
    SegTree() {}
    SegTree(int n, const Func &f, const Monoid &identity)
    : SIZE(n), F(f), IDENTITY(identity) {
        offset = 1;
        while (offset < n) offset *= 2;
        dat.assign(offset * 2, IDENTITY);
    }
    void init(int n, const Func &f, const Monoid &identity) {
        SIZE = n;
        F = f;
        IDENTITY = identity;
        offset = 1;
        while (offset < n) offset *= 2;
        dat.assign(offset * 2, IDENTITY);
    }
    int size() const { return SIZE; }
    
    // set, a is 0-indexed //
    // build(): O(N)
    void set(int a, const Monoid &v) { dat[a + offset] = v; }
    void build() {
        for (int k = offset - 1; k > 0; --k)
            dat[k] = F(dat[k*2], dat[k*2+1]);
    }
    void build(const vector<Monoid> &vec) {
        for (int a = 0; a < vec.size() && a + offset < dat.size(); ++a)
            set(a, vec[a]);
        build();
    }
    
    // update a, a is 0-indexed, O(log N)
    void update(int a, const Monoid &v) {
        int k = a + offset;
        dat[k] = v;
        while (k >>= 1) dat[k] = F(dat[k*2], dat[k*2+1]);
    }
    
    // get [a, b), a and b are 0-indexed, O(log N)
    Monoid get(int a, int b) {
        Monoid vleft = IDENTITY, vright = IDENTITY;
        for (int left = a + offset, right = b + offset; left < right;
        left >>= 1, right >>= 1) {
            if (left & 1) vleft = F(vleft, dat[left++]);
            if (right & 1) vright = F(dat[--right], vright);
        }
        return F(vleft, vright);
    }
    Monoid get_all() { return dat[1]; }
    Monoid operator [] (int a) const { return dat[a + offset]; }
    
    // get max r that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int max_right(const function<bool(Monoid)> f, int l = 0) {
        if (l == SIZE) return SIZE;
        l += offset;
        Monoid sum = IDENTITY;
        do {
            while (l % 2 == 0) l >>= 1;
            if (!f(F(sum, dat[l]))) {
                while (l < offset) {
                    l = l * 2;
                    if (f(F(sum, dat[l]))) {
                        sum = F(sum, dat[l]);
                        ++l;
                    }
                }
                return l - offset;
            }
            sum = F(sum, dat[l]);
            ++l;
        } while ((l & -l) != l);  // stop if l = 2^e
        return SIZE;
    }

    // get min l that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int min_left(const function<bool(Monoid)> f, int r = -1) {
        if (r == 0) return 0;
        if (r == -1) r = SIZE;
        r += offset;
        Monoid sum = IDENTITY;
        do {
            --r;
            while (r > 1 && (r % 2)) r >>= 1;
            if (!f(F(dat[r], sum))) {
                while (r < offset) {
                    r = r * 2 + 1;
                    if (f(F(dat[r], sum))) {
                        sum = F(dat[r], sum);
                        --r;
                    }
                }
                return r + 1 - offset;
            }
            sum = F(dat[r], sum);
        } while ((r & -r) != r);
        return 0;
    }
    
    // debug
    friend ostream& operator << (ostream &s, const SegTree &seg) {
        for (int i = 0; i < seg.size(); ++i) {
            s << seg[i];
            if (i != seg.size()-1) s << " ";
        }
        return s;
    }
};

// ABC 307 F
void ABC_307_F() {
    const long long INF = 1LL<<60;
    
    // 入力
    using Edge = pair<int, long long>;
    using Graph = vector<vector<Edge>>;
    int N, M, K, D;
    cin >> N >> M;
    Graph G(N);
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        --u, --v;
        G[u].emplace_back(v, w);
        G[v].emplace_back(u, w);
    }
    cin >> K;
    vector<int> A(K);
    for (int i = 0; i < K; ++i) {
        cin >> A[i];
        --A[i];
    }
    cin >> D;
    vector<long long> X(D);
    for (int i = 0; i < D; ++i) cin >> X[i];
    
    // day >= start かつ X[day] >= x となる最小の day を求める
    SegTree<long long> seg(D, [&](long long a, long long b){return max(a,b);}, -INF);
    seg.build(X);
    auto first_okay_day = [&](long long x, int start) -> int {
        return seg.max_right([&](long long val) {return val < x;}, start);
    };
    
    // Dijkstra
    using Weight = pair<long long, long long>;
    using Node = pair<Weight, int>;
    priority_queue<Node, vector<Node>, greater<Node>> que;
    vector<Weight> dp(N, Weight(INF,INF));
    for (int i = 0; i < K; ++i) {
        que.push(Node({0,0}, A[i]));
        dp[A[i]] = {0,0};
    }
    while (!que.empty()) {
        auto [cur, v] = que.top();
        que.pop();
        
        if (cur > dp[v] || cur.first >= D) continue;
        for (auto e : G[v]) {
            Weight nex(cur.first, cur.second + e.second);
            if (cur.second + e.second > X[cur.first]) {
                nex = {first_okay_day(e.second, cur.first+1), e.second};
            }
            if (chmin(dp[e.first], nex)) {
                que.push(Node(dp[e.first], e.first));
            }
        }
    }
    for (int v = 0; v < N; ++v) {
        if (dp[v].second > 0) ++dp[v].first;
        cout << (dp[v].first <= D ? dp[v].first : -1) << endl;
    }
}

int main() {
    ABC_307_F();
}

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制約

考えたこと

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