問題概要

$N$ 個の区間がある。各区間 $i$ は、 $\lbrack l_{i}, r_{i})$ で重みは $c_{i}$ である。

これらの区間からいくつか選ぶ方法のうち、 $\lbrack 0, L)$ 全体を被覆するものについて、最小重みを求めよ。

制約

$N, L \le 10^{5}$

考えたこと

区間がいっぱいある問題では、とりあえず左端か右端でソートするとうまくいくことが多い。そして、次の配列を考えよう。

dp[i] ← $\lbrack 0, i)$ を被覆するコストの最小値

今回は区間を右端でソートしておいて、その順に処理していく。その区間が $\lbrack l, r)$ で重みが $c$ であるとする。このとき DP 更新式は

chmin(dp[r], min(dp[l], dp[l+1], ..., dp[r-1]) + c)

と表現できる。これは配列 dp を RMQ で表現することで高速に更新できる。全体の計算量は $O(L + N \log L)$ となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define COUT(x) cout << #x << " = " << (x) << " (L" << __LINE__ << ")" << endl

// Segment Tree
template<class Monoid> struct SegmentTree {
    using Func = function<Monoid(Monoid, Monoid)>;

    // core member
    int N;
    Func OP;
    Monoid IDENTITY;
    
    // inner data
    int log, offset;
    vector<Monoid> dat;

    // constructor
    SegmentTree() {}
    SegmentTree(int n, const Func &op, const Monoid &identity) {
        init(n, op, identity);
    }
    SegmentTree(const vector<Monoid> &v, const Func &op, const Monoid &identity) {
        init(v, op, identity);
    }
    void init(int n, const Func &op, const Monoid &identity) {
        N = n;
        OP = op;
        IDENTITY = identity;
        log = 0, offset = 1;
        while (offset < N) ++log, offset <<= 1;
        dat.assign(offset * 2, IDENTITY);
    }
    void init(const vector<Monoid> &v, const Func &op, const Monoid &identity) {
        init((int)v.size(), op, identity);
        build(v);
    }
    void pull(int k) {
        dat[k] = OP(dat[k * 2], dat[k * 2 + 1]);
    }
    void build(const vector<Monoid> &v) {
        assert(N == (int)v.size());
        for (int i = 0; i < N; ++i) dat[i + offset] = v[i];
        for (int k = offset - 1; k > 0; --k) pull(k);
    }
    int size() const {
        return N;
    }
    Monoid operator [] (int i) const {
        return dat[i + offset];
    }
    
    // update A[i], i is 0-indexed, O(log N)
    void set(int i, const Monoid &v) {
        assert(0 <= i && i < N);
        int k = i + offset;
        dat[k] = v;
        while (k >>= 1) pull(k);
    }
    
    // get [l, r), l and r are 0-indexed, O(log N)
    Monoid prod(int l, int r) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= N);
        Monoid val_left = IDENTITY, val_right = IDENTITY;
        l += offset, r += offset;
        for (; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
            if (l & 1) val_left = OP(val_left, dat[l++]);
            if (r & 1) val_right = OP(dat[--r], val_right);
        }
        return OP(val_left, val_right);
    }
    Monoid all_prod() {
        return dat[1];
    }
    
    // get max r that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int max_right(const function<bool(Monoid)> f, int l = 0) {
        if (l == N) return N;
        l += offset;
        Monoid sum = IDENTITY;
        do {
            while (l % 2 == 0) l >>= 1;
            if (!f(OP(sum, dat[l]))) {
                while (l < offset) {
                    l = l * 2;
                    if (f(OP(sum, dat[l]))) {
                        sum = OP(sum, dat[l]);
                        ++l;
                    }
                }
                return l - offset;
            }
            sum = OP(sum, dat[l]);
            ++l;
        } while ((l & -l) != l);  // stop if l = 2^e
        return N;
    }

    // get min l that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int min_left(const function<bool(Monoid)> f, int r = -1) {
        if (r == 0) return 0;
        if (r == -1) r = N;
        r += offset;
        Monoid sum = IDENTITY;
        do {
            --r;
            while (r > 1 && (r % 2)) r >>= 1;
            if (!f(OP(dat[r], sum))) {
                while (r < offset) {
                    r = r * 2 + 1;
                    if (f(OP(dat[r], sum))) {
                        sum = OP(dat[r], sum);
                        --r;
                    }
                }
                return r + 1 - offset;
            }
            sum = OP(dat[r], sum);
        } while ((r & -r) != r);
        return 0;
    }
    
    // debug
    friend ostream& operator << (ostream &s, const SegmentTree &seg) {
        for (int i = 0; i < (int)seg.size(); ++i) {
            s << seg[i];
            if (i != (int)seg.size() - 1) s << " ";
        }
        return s;
    }
};

const long long INF = 1LL<<60;
int main() {
    int N, L;
    cin >> N >> L;
    vector<long long> l(N), r(N), c(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        cin >> l[i] >> r[i] >> c[i];
    }
    vector<int> ids(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) ids[i] = i;
    sort(ids.begin(), ids.end(), [&](int i, int j){return r[i] < r[j];});
    
    SegmentTree<long long> dp(L+1, [&](long long a, long long b){return min(a,b);}, INF);
    dp.set(0, 0);
    for (auto i : ids) {
        // dp[l[i]], dp[l[i]+1], ..., dp[r[i]-1] の最小値をとる
        long long miv = dp.prod(l[i], r[i]);
        
        // dp[r[i]] にセット
        dp.set(r[i], min(dp.prod(r[i], r[i]+1), miv + c[i]));
    }
    cout << dp.prod(L, L+1) << endl;
}

けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

AtCoder ARC 026 C - 蛍光灯 (試験管青色)

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考えたこと

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