問題概要

$R$ 個の文字 R、 $G$ 個の文字 G、 $B$ 個の文字 B を並べてできる文字列のうち、部分文字列として含まれる RG がちょうど $K$ 個であるようなものの個数を 998244353 で割ったあまりを求めよ。

制約

$1 \le R, G, B \le 10^{6}$
$0 \le K \le \min(R, G)$

考えたこと

文字列の順列を数える問題では、挿入 DP 的な考え方がうまくいくことがよくある！

まず、文字 B, G を先に並べておく。その方法は $C(G+B, G)$ 通りある。そのぞれぞれについて、文字 R をいかに挿入できるかを考えることにする。

G の左隣となる挿入箇所： $G$ 箇所
それ以外の挿入箇所： $B+1$ 箇所

あることに注意する。まず、文字 G の左隣となる挿入箇所のから、 $K$ 箇所選んで ( $C(G, K)$ 通りある)、文字 R を 1 個ずつ挿入することにする。このとき、残りの文字 G の左隣には挿入してはいけない。

よって残りは

残りの $R - K$ 個の文字 R を
$K+B+1$ 箇所に分配して挿入する

という問題になる。これは重複組合せで解決できて、 $C(R+B, K+B)$ 通りとなる。

よって、まとめると、

$C(G+B, G) \times C(G, K) \times C(R+B, K+B)$ 通り

と求められた。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

// Binomial coefficient
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].getmod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;

int main() {
    int R, G, B, K;
    cin >> R >> G >> B >> K;
    
    BiCoef<mint> bc(G+R+B+1);
    mint res = bc.com(G+B, G) * bc.com(G, K) * bc.com(R+B, K+B);
    cout << res << endl;
}