AtCoder ARC 190 B - L Partition (3D, 黄色, 800 点)

「二項係数の和」は結構なんとかなることを学んだ！　備忘録程度に書く。

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問題概要

下の図のように、 グリッドを、レベル の L 字で隙間なく埋め尽くす (レベル の L 字の定義は問題文参照)。

マス を指定したとき、次の 回のクエリに答えよ。各クエリでは整数 が指定される。埋め尽くす方法のうち、レベル の L 字がマス を覆っているようなものの個数を 998244353 で割った余りを求めよ。

制約

• 
• 

考えたこと

を 0-indexed にする。

まずは の場合を考えた。すると、場合の数は

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---

となることがわかった。

の場合については、レベル の L 字を「 の正方形」とみなして、次のように分解した。

• 正方形の外側： グリッドを適切に覆う方法に帰着
• 正方形の内側； 通り

前者については、結局

を について求めたいという問題に帰着できた。これは、次のような漸化式によって の計算量で求められた。

---

---

全体として、 の計算量で求められる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};

// Binomial coefficient
template<class mint> struct BiCoef {
    vector<mint> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].get_mod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr mint com(int n, int k) const {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr mint fact(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr mint inv(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr mint finv(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;

int main() {
    int N, a, b, Q, k;
    cin >> N >> a >> b >> Q;
    a--, b--;

    BiCoef<mint> bc(N+1);
    vector<mint> suma(N+1, 0), sumb(N+1, 0);
    suma[1] = bc.com(N-1, a), sumb[1] = bc.com(N-1, b);
    for  (int k = 2; k <= N; k++) {
        suma[k] = (suma[k-1] + bc.com(N-k, a-k+1) + bc.com(N-k, a)) / 2;
        sumb[k] = (sumb[k-1] + bc.com(N-k, b-k+1) + bc.com(N-k, b)) / 2;
    }

    while (Q--) {
        cin >> k;
        if (k == 1) cout << bc.com(N-1, a) * bc.com(N-1, b) << endl;
        else {
            mint aw = bc.com(N-k, a) + bc.com(N-k, a-k+1);
            mint bw = bc.com(N-k, b) + bc.com(N-k, b-k+1);
            mint res = (suma[k] * bw + sumb[k] * aw) * 2 - aw * bw;
            mint fact = mint(2).pow(k*2-4);
            cout << res * fact << endl;
        }
    }
}