2023-09-04

AtCoder ABC 215 G - Colorful Candies 2 (黄色, 600 点)

最初 DP で迷走して、期待値の線形性を使って $O(N \sqrt{N})$ まで来れた。でも、Polynomial Taylor Shift なる解法もあるらしい！

問題へのリンク

問題概要

$N$ 個のキャンディがあって、各キャンディの色は正の整数 $c_{i}$ で表されている。

各 $k = 1, 2, \dots, N$ に対して、 $N$ 個のキャンディから $k$ 個のキャンディをランダムに選んだときの、選んだキャンディの色の種類数の期待値を mod 998244353 で求めよ。

制約

$1 \le N \le 5 \times 10^{4}$

考えたこと

最初 DP など迷走した。やがて、期待値の線形性を活用することに思い至った。

ここで、各色が何個あるかをカウントしていくことを考える。一般に、色 $i$ が $n_{i}$ 個あるとしたとき、この色が選ばれる確率は

$\displaystyle 1 - \frac{C(N-n_{i}, k)}{C(N, k)}$

となる。各色 $i$ についての、この確率の総和が求める期待値となる。

さらに、色の個数が同じであるような色は、まとめて処理できることから、考慮すべき色の個数は $O(\sqrt{N})$ 個となる。全体の計算量は $O(N\sqrt{N})$ となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using pint = pair<int,int>;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() noexcept : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const noexcept { return val; }
    constexpr int get_mod() const noexcept { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const noexcept {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const noexcept {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &r, long long n) noexcept {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD> &r) noexcept {
        return r.inv();
    }
};

// Binomial coefficient
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].get_mod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

int main() {
    const int MOD = 998244353;
    using mint = Fp<MOD>;
    
    int N;
    cin >> N;
    BiCoef<mint> bc(N+1);
                    
    map<int,int> ma;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        int c;
        cin >> c;
        ma[c]++;
    }
    int S = 0;
    vector<int> bac(N+1, 0);
    for (auto [v, s] : ma) ++bac[s];
    vector<pint> vec;
    for (int s = 1; s <= N; ++s) {
        if (bac[s]) {
            vec.emplace_back(s, bac[s]);
            S += bac[s];
        }
    }
    
    for (int k = 1; k <= N; ++k) {
        mint tmp = 0;
        for (auto [s, num] : vec) tmp += bc.com(N-s, k) * num;
        mint res = S;
        res -= tmp / bc.com(N, k);
        cout << res << endl;
    }
}

別解：Polynomial Taylor Shift

Polynomial Taylor Shift を使うと $O(N \log N)$ で解ける。

drken1215.hatenablog.com

#include <bits/stdc++.h>
#include "atcoder/convolution.hpp"
#include "atcoder/modint.hpp"
using namespace std;
using namespace atcoder;
using mint = modint998244353;

// Binomial coefficient
const int MOD = 998244353;
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

// Polynomial Taylor Shift
// given: f(x), c
// find: coefficientss of f(x + c)
template<class mint> vector<mint> PolynomialTaylorShift(const vector<mint> &f, long long c) {
    int N = (int)f.size() - 1;
    BiCoef<mint> bc(N + 1);
    
    // convollution
    vector<mint> p(N + 1), q(N + 1);
    for (int i = 0; i <= N; ++i) {
        p[i] = f[i] * bc.fact(i);
        q[N - i] = mint(c).pow(i) * bc.finv(i);
    }
    vector<mint> pq = convolution(p, q);
    
    // find
    vector<mint> res(N + 1);
    for (int i = 0; i <= N; ++i) res[i] = pq[i + N] * bc.finv(i);
    return res;
}

int main() {
    int N;
    cin >> N;
    map<int,int> ma;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        int c;
        cin >> c;
        ++ma[c];
    }
    vector<int> a;
    for (auto [v, num] : ma) a.push_back(num);
    
    // Polynomial Taylor Shift
    vector<mint> f(N + 1, 0);
    for (auto ai : a) f[N - ai] += 1;
    vector<mint> res = PolynomialTaylorShift(f, 1);
    
    BiCoef<mint> bc(N + 1);
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        cout << (mint(a.size()) - res[i] / bc.com(N, i)).val() << endl;
    }
}

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コード

別解：Polynomial Taylor Shift