2023-09-06

Codeforces Round 539 (Div. 1) D. Sasha and Interesting Fact from Graph Theory (R2400)

また一つ、プリューファーコードの練習問題が増えた！

問題へのリンク

問題概要

正の整数値 $N, M$ が与えられる。

頂点数 $N$ の重み付き木であって、以下の条件を満たすものの個数を 1000000007 で割った余りを求めよ。

各辺の重みは $1$ 以上 $M$ 以下の整数値である
2 頂点 $a, b$ 間の距離はちょうど $M$ である ( $a, b$ は given)

制約

$2 \le N \le 10^{6}$
$1 \le M \le 10^{6}$
$1 \le a \lt b \le N$

考えたこと

対称性より、2 頂点は $N-1, N$ であるとしてよい。まず、2 頂点 $N-1, N$ を結ぶパス上の頂点数 $k$ で場合分けして考えることにする。まず、重複組合せの考え方より、

パスに来る頂点番号の並べ方： ${}_{N-2}\mathrm{P}_{k-2}$ 通り
パス上の辺の重みの決め方： ${}_{M-1}\mathrm{C}_{k-2}$ 通り
パス以外の辺の重みの決め方： $M^{N-k}$ 通り

となる。残りは、パスの形を残しつつ、全域木の作り方が何通りあるかを考えればよい。

プリューファーコードを用いた考察

プリューファーコード自体はこの記事にて。

drken1215.hatenablog.com

まず、パス上の頂点番号は $N-k+1, N-k+2, \dots, N$ であるとしても一般性を失わない。このパスを $P$ とする。このようにしたとき、プリューファーコードの手続きを考えると、最後にパス $P$ の部分が残ることになる。

よって、全域木のプリューファーコードとしてありうるものは、次のようになる。

最初の $N-k-1$ 個の要素については、 $1, 2, \dots, N$ の任意の値をとりうる (パス $P$ と残り 1 個の頂点になるまで)
その次の値については、パス上のいずれかの頂点が来るので、 $k$ 通りありうる (最後にパス以外の葉を除去してパス $P$ のみが残る瞬間)
その後は固定値となる

よって、パスと重みを決めた後の全域木の作り方は $N^{N-k-1} \times K$ 通りとなる。例外として $k = N$ の場合は $1$ 通りである。

以上より、 $O(N)$ の解法が得られた。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() noexcept : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const noexcept { return val; }
    constexpr int get_mod() const noexcept { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const noexcept {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const noexcept {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &r, long long n) noexcept {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD> &r) noexcept {
        return r.inv();
    }
};

// Binomial coefficient
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].get_mod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

int main() {
    int N, M, A, B;
    cin >> N >> M >> A >> B;
    
    const int MOD = 1000000007;
    using mint = Fp<MOD>;
    BiCoef<mint> bc(max(N, M) + 10);
    
    mint res = 0;
    
    // 頂点 a, b を結ぶパス上の頂点数 k で場合分け
    for (int k = 2; k <= N; ++k) {
        // パスに来る頂点番号の並べ方
        mint path_order = bc.com(N-2, k-2) * bc.fact(k-2);
        
        // パス上の重さの選び方
        mint path_weight = bc.com(M-1, k-2);
        
        // 残りの頂点で全域木を作る方法：プリューファーコードより
        mint rem_tree = mint(N).pow(N-k-1) * (k != N ? k : 1);
        
        // 残りの辺の重みの選び方
        mint rem_weight = mint(M).pow(N-k);

        // 集計
        res += path_order * path_weight * rem_tree * rem_weight;
    }
    cout << res << endl;
}