2023-08-26

競プロキャンプ2023関西 L - (sum)mer

有志コン多項式・FPS(形式的冪級数) 負の二項係数二項係数総和を求める数学(代数) 式変形数列制約条件:総和=K 積の和に関する問題テク:積の和を組合せ論的に解釈する級数和を求めるマルチテストケース問題入力が定数個

FPS + 負の二項係数

問題へのリンク

問題概要

長さが $N$ で総和が $M$ であるような、正の整数のみからなる数列 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N}$ すべてについての

$\displaystyle \Pi_{i=1}^{N} (A_{i}^{2} + A_{i})$

の総和を 998244353 で割ったあまりを求めよ ( $T$ ケース)。

制約

$1 \le T, M, N \le 2 \times 10^{5}$

解法 (1)：FPS

求めたいものは

$\displaystyle \lbrack x^{M} \rbrack \bigl( (1^{2} + 1)x^{1} + (2^{2} + 2)x^{2} + (3^{2} + 3)x^{3} + \dots + (n^{2} + n)x^{n} + \dots \bigr)^{N}$

である。これはちゃんと計算すると、

$\displaystyle \lbrack x^{M-N} \rbrack \frac{2^{N}}{(1-x)^{3N}}$

を求めればよいことになる。これは負の二項係数だ。形式的に書くと、負の二項係数 $C(-3N, M-N)$ を用いて、

$\displaystyle (-1)^{M-N}2^{N}C(-3N, M-N)$

を求めたい。一般に

$\displaystyle C(-n, r)$
$= \displaystyle \frac{(-n)(-n-1)\dots(-n-r+1)}{r!}$
$= \displaystyle (-1)^{r} \frac{(n+r-1)(n+r-2)\dots(n+1)(n)}{r!}$
$= \displaystyle (-1)^{r} C(n+r-1, r)$

となる。よって、我々が求めたいものは

$2^{N} C(M+2N-1, M-N)$

となる。

解法 (2)：積の和

この問題を単純化した問題

同じ数列群に対する

$\displaystyle \Pi_{i=1}^{N} A_{i}$

の総和を求めよ

という問題は、最も典型的な「積の和」の問題例としてよく知られている。

ladywingclover.hatenablog.com

これと同じように解ける。まず、次のように式変形する。

$\displaystyle \Pi_{i=1}^{N} (A_{i}^{2} + A_{i}) = 2^{N} \Pi_{i=1}^{N} C(A_{i}+1, 2)$

こうすると、次の問題と一緒になる。

マス数 $M + N$ のテープを $N$ 個に分割し、各テープごとに 2 マス選んで色付けしていく方法は何通りか？

それに $2^{N}$ をかけた値を答えよ。

これは、分割のための $N-1$ 個の仕切りを追加してあげると、次の問題と一緒になる。

$M + 2N - 1$ 個のボールがある。これらのボールのうち、 $3N-1$ 個は赤色であり、残りの $M-N$ 個は白色である。

これらのボールを並び替える方法は何通りあるか？

それに $2^{N}$ をかけた値を答えよ。

この答えは、 $2^{N} C(M+2N-1, M-N)$ となる。解法 (1) と同じ結論が得られた。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() noexcept : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const noexcept { return val; }
    constexpr int get_mod() const noexcept { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const noexcept {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const noexcept {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &r, long long n) noexcept {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD> &r) noexcept {
        return r.inv();
    }
};

// Binomial coefficient
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].get_mod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

int main() {
    const int MOD = 998244353, MAX = 610000;
    using mint = Fp<MOD>;
    BiCoef<mint> bc(MAX);
    
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int M, N;
        cin >> N >> M;
        cout << modpow(mint(2), N) * bc.com(M + N*2 - 1, M - N) << endl;
    }
}