けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

AtCoder AGC 036 C - GP 2 (黄色, 900 点)

こういう数え上げ、大好きすぎる!!!

問題概要

長さ  N の数列  x_{1}, \dots, x_{N} がある。初期状態ではすべての値が 0 となっている。この数列に以下の操作をちょうど  M 回行って得られる数列が何通りあるか、998244353 で割ったあまりを求めよ。

  •  i \neq j となる  (i, j) を選んで
  •  x_{i} += 2 とする
  •  x_{j} += 1 とする

制約

  •  2 \le N \le 10^{6}
  •  1 \le M \le 5 \times 10^{5}

考えたこと

こういうのは「まず判定問題を解く」のが良いと相場は決まっている!!!つまり操作によって数列  y_{1}, \dots, y_{N} を作れるかどうかを判定するのだ。

まず自明な必要条件として

  •  y_{1} + \dots + y_{N} = 3M
  •  y_{i} \le 2M

がある。しかしこれだけではダメなケースもある。たとえば  N = 5 M = 3 のとき

 y = (5, 1, 1, 1, 1)

は作れない。なぜなら  2 を合計  M (= 3) 箇所で足さないとダメだけど、 3 箇所も足せないのだ。よって次の条件も追加!!

  •  y_{1}, \dots, y_{N} のうち奇数が  M 個以下

これを満たさないと  +2 M 箇所以上で行うことができない。逆にこれまでの条件をすべて満たしていれば、「+2」を  M 箇所定めることができて、残りは「+1」をよしなに埋めれば OK。

以上から、必要十分条件がわかりやすく特徴づけられた!これを満たす数列  y の個数を求めればよい。


  •  y_{i} は非負整数
  •  y_{i} \le 2M
  •  y_{1} + \dots + y_{N} = 3M
  •  y_{1}, \dots, y_{N} のうち奇数が  M 個以下

数列の個数

安直には

  • dp[ i ][ j ][ k ] := 数列の最初の i 個について、奇数が j 個で、総和が k となる場合の数

という DP で  O(NM^{3}) で解ける。でもこの方向性では到底高速化できなさそう。ちょっと作戦を変更して、重複組合せを活用する方向性で考えてみる。

奇数が  k 個のとき、 N 個のうちどれが奇数かを決め打ちする方法が  {}_{N}{\rm C}_{k} 通りになる。それらの奇数については 1 を引けば「すべて偶数」という条件に書き変わるので 2 で割ってしまう。そうすると次の数え上げ問題に帰着される。

  •  y'_{i} は非負整数
  •  y'_{1} + \dots + y'_{N} = \frac{3M - k}{2} ( = A とする)
  •  y'_{i} \le M-1 ( k 箇所分)
  •  y'_{j} \le M ( N-k 箇所分)

 y'_{i} \le M-1, M といった条件は扱いづらいので包除原理することを考える。 M \ge 2 であれば、2 箇所以上で条件を破ることはないので、次のようにすぐ求められる。

  • 全体: {}_{A + N - 1}{\rm C}_{N-1} 通り
  • 制約破り: k \times {}_{A-M + N - 1}{\rm C}_{N-1} +  (N-k) \times {}_{A-M-1 + N - 1}{\rm C}_{N-1} 通り

 M = 1 の場合は別途求めることにした。計算量は  O(N+M)

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;

// Binomial coefficient
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].getmod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};
BiCoef<mint> bc;

mint solve(int N, int M) {
    if (M == 1) return mint(N) * (N-1);
    mint res = 0;
    for (int k = 0; k <= min(M, N); ++k) {
        if ((M*3-k) % 2 == 1) continue;
        int A = (M*3-k) / 2;
        mint all = bc.com(A+N-1, N-1);
        mint sum1 = bc.com(A-M+N-1, N-1) * k;
        mint sum2 = bc.com(A-M+N-2, N-1) * (N-k);
        mint tmp = all - sum1 - sum2;
        res += tmp * bc.com(N, k);
    }
    return res;
}

int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    bc.init(N + M*3 + 1);
    cout << solve(N, M) << endl;
}