包除原理！！！C 問題としては難しめですね。

問題概要

0 以上 9 以下の整数値からなる長さ $N$ の数列 $A_{1}, \dots, A_{N}$ であって、

数列中に 0 が含まれる
数列中に 9 が含まれる

という条件を満たすものの個数を 1000000007 で割ったあまりを求めよ。

制約

$1 \le N \le 10^{6}$

考えたこと

いきなり 0 と 9 を両方考えるのは難しいので、まずは

「数列中に 0 が含まれるものを数える」

という問題を考えてみよう。これは、次の個数に等しくなっている。

(すべての数列の個数)
- (0 が含まれないような数列の個数)

なぜこのように考えるかというと、「0 が含まれる」という条件がとても扱いづらいからだ。反対に「0 が含まれない」というのは

数列の各値は 0 以外の 1, 2, ..., 9 (9 種類) で構成される

という条件と一緒なので、とても扱いやすくなる。よって、

(すべての数列の個数) = $10^{N}$
(0 が含まれないような数列の個数) = $9^{N}$

となる。以上より、「0 が含まれる数列の個数」は $10^{N} - 9^{N}$ と求められた。

本題に戻る：0 も 9 も含まれる場合

一気に複雑になるけど、これは実は、次のものを数えればよい。

(すべての数列の個数)
- (0 が含まれないような数列の個数)
- (9 が含まれないような数列の個数)
+ (0 も 9 も含まれないような数列の個数)

下図のような感じになっている。

(すべての数列の個数) は $10^{N}$ 通り
(0 が含まれないような数列の個数) は $9^{N}$ 通り
(9 が含まれないような数列の個数) は $9^{N}$ 通り
(0 も 9 も含まれないような数列の個数) は $8^{N}$ 通り

最後の $8^{N}$ 通りのところは、数列の各値が 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 の 8 種類の値のみを使えるところから出てくる。

注意点として、

(すべての数列の個数)
- (0 が含まれないような数列の個数)
- (9 が含まれないような数列の個数)

は間違っている。なぜならこのとき、(0 も 9 も含まれないような数列) が二度も重複して除外されてしまうのだ。

以上より、求める答えは $10^{N} - 2 \times 9^{N} + 8^{N}$ となる。

コード

流行りの modint を使うと楽に計算できる！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;

int main() {
    int N;
    cin >> N;
    cout << modpow(mint(10), N) - modpow(mint(9), N) * 2 
            + modpow(mint(8), N) << endl;
}

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AtCoder ABC 178 C - Ubiquity (3Q, 茶色, 300 点)

問題概要

制約

考えたこと

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コード