こういう条件を言い換えながら数え上げる問題好き!
問題概要
タプリスちゃんは現在、長さ 1 の数列 を持っている。
タプリスちゃんは に対して、以下のいずれかの操作を選んで行うことを 回繰り返すことにした。
- の末尾に または を追加する
- である整数 i を 1 つ選択し、 または が成り立つような整数 を の間に追加する
回目の操作を行ったあとの数列 を と書くことにする。数列の列 としてありえるものの種類数を 998244353 で割った余りを求めてください。
制約
考えたこと
これ、次の 2 つのどちらを問いているかによって、解き方が大きく変わってくる!
- 数列の列 の個数
- 最終的に出来上がる数列 の個数
どちらかというと、後者を問いかけるような問題が多くて、前者のように「操作列自体を数え上げよ」という問題は少ないイメージ。後者であれば「最初に判定問題を解く」という手法がかなり有効になる。
さて、操作列を数え上げよ、と言われるとそれはそれでややこしいので、条件をいい感じに言い換えたい。まず、操作は次の 3 パターンに分類できる。
- A: 数列 の末尾の値を として、末尾に を挿入する
- B: 数列 の末尾の値を として、末尾に じゃない方を挿入する ([tex v = 1] なら 、 なら )
- C: 数列のどこかに適切な値を挿入する
そして問題は次のように言い換えられる。
'A', 'B', 'C' のみからなる長さ の文字列であって、以下の条件を満たすものを数え上げよ。
- 任意の 'C' に対して、その前にある 'B' の個数を , 'C' の個数を としたときに、 が成立
- ただし 'C' を挿入するときは、 倍する
ここで、 を 1 回挟むごとに、挿入できる (場所, 値) のペアの個数が 箇所増えることに注意する。 を 1 回挟むごとに、そのペアの個数は 1 減少する。
A をなくして DP へ
さらに、上記の条件を満たす文字列において 'A' の存在は飾りでしかない。よって、次のように考えれば OK。
- 'A' の個数を 個と決め打ちしたとき
- 文字中の 'A' の箇所を決め打つ方法は 箇所あって、
- 'B' と 'C' のみを 個並べる問題に帰着する
'B' と 'C' のみを並べる問題は、次のような DP で解ける。
- dp[ i ][ j ] := 'B' を j 文字使いながら 'B' と 'C' を合計 i 文字並べる方法の個数 (ただし 'C' を並べるときは をかける)
計算量は となる。
コード
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; // modint template<int MOD> struct Fp { long long val; constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) { if (val < 0) val += MOD; } constexpr int getmod() const { return MOD; } constexpr Fp operator - () const noexcept { return val ? MOD - val : 0; } constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; } constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; } constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; } constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; } constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept { val += r.val; if (val >= MOD) val -= MOD; return *this; } constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept { val -= r.val; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept { val = val * r.val % MOD; return *this; } constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b, swap(a, b); u -= t * v, swap(u, v); } val = val * u % MOD; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept { return this->val == r.val; } constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept { return this->val != r.val; } friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept { is >> x.val; x.val %= MOD; if (x.val < 0) x.val += MOD; return is; } friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept { return os << x.val; } friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept { if (n == 0) return 1; auto t = modpow(r, n / 2); t = t * t; if (n & 1) t = t * r; return t; } friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b, swap(a, b); u -= t * v, swap(u, v); } return Fp<MOD>(u); } }; //const int MOD = 1000000007; const int MOD = 998244353; using mint = Fp<MOD>; // Binomial coefficient template<class T> struct BiCoef { vector<T> fact_, inv_, finv_; constexpr BiCoef() {} constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) { init(n); } constexpr void init(int n) noexcept { fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1); int MOD = fact_[0].getmod(); for(int i = 2; i < n; i++){ fact_[i] = fact_[i-1] * i; inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i); finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i]; } } constexpr T com(int n, int k) const noexcept { if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0; return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k]; } constexpr T fact(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return fact_[n]; } constexpr T inv(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return inv_[n]; } constexpr T finv(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return finv_[n]; } }; BiCoef<mint> bc; mint solve(long long N, long long M) { M -= 2; vector<vector<mint>> dp(N+2, vector<mint>(N+1, 0)); dp[0][0] = 1; for (int i = 0; i <= N; ++i) { for (int j = 0; j <= i; ++j) { if (dp[i][j] == 0) continue; long long s = M * j - (i - j); if (j + 1 <= N) { dp[i+1][j+1] += dp[i][j]; } if (j - 1 >= 0 && s >= 0) { dp[i+1][j] += dp[i][j] * s; } } } mint res = 0; for (int i = 0; i <= N; ++i) { mint tmp = 0; for (int j = 0; j <= i; ++j) { tmp += dp[i][j]; } res += tmp * bc.com(N, i); } return res; } int main() { bc.init(1100000); long long N, M; while (cin >> N >> M) cout << solve(N, M) << endl; }