DP 高速化系問題
問題概要
のグリッドが与えられる。各マス には数値 が書かれている。
各行から 1 個ずつ数値を選んで行順に並べてできる数列を考える。そのような数列は 通り考えられるが、そのうち広義単調増加なものが何通りあるか、1000000007 で割ったあまりを求めよ。
制約
考えたこと
いかにも DP。
- dp[ i ][ j ] := 最初の i 行を考えたとき、最後の値が j 列目となる場合についての、条件を満たす数列の個数
とする。このとき、v[ i - 1 ][ k ] <= v[ i ][ j ] を満たす最大の k を考えた時、
dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ 0 ] + ... + dp[ i - 1 ][ k ]
となる。このままでは の計算量となる。しかし、累積和を用いて高速化すると、 ( を求めるのに二分探索を用いる場合は ) となる。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; // modint template<int MOD> struct Fp { long long val; constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) { if (val < 0) val += MOD; } constexpr int getmod() const { return MOD; } constexpr Fp operator - () const noexcept { return val ? MOD - val : 0; } constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; } constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; } constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; } constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; } constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept { val += r.val; if (val >= MOD) val -= MOD; return *this; } constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept { val -= r.val; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept { val = val * r.val % MOD; return *this; } constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b, swap(a, b); u -= t * v, swap(u, v); } val = val * u % MOD; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept { return this->val == r.val; } constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept { return this->val != r.val; } friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept { is >> x.val; x.val %= MOD; if (x.val < 0) x.val += MOD; return is; } friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept { return os << x.val; } friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept { if (n == 0) return 1; if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n); auto t = modpow(r, n / 2); t = t * t; if (n & 1) t = t * r; return t; } friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b, swap(a, b); u -= t * v, swap(u, v); } return Fp<MOD>(u); } }; const int MOD = 1000000007; using mint = Fp<MOD>; int main() { int N, K; cin >> N >> K; vector<vector<long long>> fi(N, vector<long long>(K)); for (int i = 0; i < N; ++i) for (int j = 0; j < K; ++j) cin >> fi[i][j]; vector<mint> dp(K, 0), sdp(K+1, 0), ndp(K, 0); dp[0] = 1, sdp[1] = 1; for (int i = 0; i < N; ++i) { ndp.assign(K, 0); for (int k = 0; k < K; ++k) { if (i == 0) ndp[k] = 1; else { int it = upper_bound(fi[i-1].begin(), fi[i-1].end(), fi[i][k]) - fi[i-1].begin(); ndp[k] = sdp[it]; } } swap(dp, ndp); sdp.assign(K+1, 0); for (int k = 0; k < K; ++k) sdp[k+1] = sdp[k] + dp[k]; } cout << sdp[K] << endl; }