AOJ ???? Numbers on Papers (KUPC 2020 B)

DP 高速化系問題

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問題概要

のグリッドが与えられる。各マス には数値 が書かれている。

各行から 1 個ずつ数値を選んで行順に並べてできる数列を考える。そのような数列は 通り考えられるが、そのうち広義単調増加なものが何通りあるか、1000000007 で割ったあまりを求めよ。

制約

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• 

考えたこと

いかにも DP。

• dp[ i ][ j ] := 最初の i 行を考えたとき、最後の値が j 列目となる場合についての、条件を満たす数列の個数

とする。このとき、v[ i - 1 ][ k ] <= v[ i ][ j ] を満たす最大の k を考えた時、

dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ 0 ] + ... + dp[ i - 1 ][ k ]

となる。このままでは の計算量となる。しかし、累積和を用いて高速化すると、 ( を求めるのに二分探索を用いる場合は ) となる。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;

int main() {
    int N, K;
    cin >> N >> K;
    vector<vector<long long>> fi(N, vector<long long>(K));
    for (int i = 0; i < N; ++i) for (int j = 0; j < K; ++j) cin >> fi[i][j];
    vector<mint> dp(K, 0), sdp(K+1, 0), ndp(K, 0);
    dp[0] = 1, sdp[1] = 1;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        ndp.assign(K, 0);
        for (int k = 0; k < K; ++k) {
            if (i == 0) ndp[k] = 1;
            else {
                int it = upper_bound(fi[i-1].begin(), fi[i-1].end(), fi[i][k]) - fi[i-1].begin();
                ndp[k] = sdp[it];
            }
        }
        swap(dp, ndp);
        sdp.assign(K+1, 0);
        for (int k = 0; k < K; ++k) sdp[k+1] = sdp[k] + dp[k];
    }
    cout << sdp[K] << endl;
}