AtCoder ABC 311 F - Yet Another Grid Task (青色, 525 点)

最初、各マスをタスクに見立てて、タスクの依存関係を考える DAG 上で DP できないかなどと考えたけど、うまくいかなかった。普通にグリッドを左から舐めていく DP でよかった！

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問題概要

のグリッドがある。各マスはすでに白色 (文字 '.') と黒色 (文字 '#') とに塗られている。

今、いくつかの白色マスを黒色マスに塗ることで、次の条件を満たすようにしたい。

「どの黒色マス についても、マス とマス は黒色であるか、グリッド外である」

最終的な盤面としてあり得るものは何通りあるか、998244353 で割ったあまりで求めよ。

制約

• 

考えたこと

最初、各白色マスをタスクに見立てて、タスクの依存関係を考える DAG 上で DP できないかと考えた。うまくいかなかった。その後、次の DP を考えた。

---

dp[i][j] ← 左から 列分 (列 ) について考える。最右列 について、上から マスが白色で、残りが黒色であるような状態で、かつ条件を満たすものの個数

---

列目について、上からはじめて黒色であるマスが 行目であるとする。このとき、 に対して、

dp[i+1][j] = dp[i][k]

と立式できる。右辺は累積和を用いて高速化できる。

全体として、 の計算量となる。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;

int main() {
    int H, W;
    cin >> H >> W;
    vector<string> S(H);
    for (int i = 0; i < H; ++i) cin >> S[i];
    
    // 各列について、上から何マスが白色かを求める
    vector<int> len(W, 0);
    for (int j = 0; j < W; ++j) {
        int i = 0;
        for (i = 0; i < H; ++i) if (S[i][j] == '#') break;
        len[j] = i;
    }
    
    vector<vector<mint>> dp(W+1, vector<mint>(H+1, 0));
    
    // DP 初期値
    for (int j = 0; j <= len[0]; ++j) dp[1][j] = 1;
    vector<mint> sdp(H+2, 0);
    for (int j = 0; j <= H; ++j) sdp[j+1] = sdp[j] + dp[1][j];
    
    // DP
    for (int i = 1; i < W; ++i) {
        for (int j = 0; j <= len[i]; ++j) {
            dp[i+1][j] = sdp[H+1] - sdp[max(j-1, 0)];
        }
        sdp.assign(H+2, 0);
        for (int j = 0; j <= H; ++j) {
            sdp[j+1] = sdp[j] + dp[i+1][j];
        }
    }
    cout << sdp.back() << endl;
}