コンテスト後に解いた。なんとか詰め切った。

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問題概要

非負整数 $S = (S_{1}, \dots, S_{k})$ と整数 $a$ に対して、関数 $f(S, a)$ を次のように定義する。

$f(S, a) = \displaystyle \sum_{i=1}^{k} S_{i} \times a^{k-i}$

正整数 $N, X$ が与えられて、次の条件を満たす非負整数列 $S$ と正の整数 $a, b$ の組の個数を 998244353 で割った余りを求めよ。

$k \ge 1$
$a, b \le N$
$S_{1} \neq 0$
$S_{i} \lt \min(10, a, b)$ ( $1 \le i \le k$ )
$f(S, a) - f(S, b) = X$

制約

$1 \le N \le 10^{9}$
$1 \le X \le 2 \times 10^{5}$

考えたこと

$a$ が大きくなると $k$ が小さく済むことなどに着目して、丁寧に場合分けして考えることにした。

まず、そもそも $a-b$ が $X$ の約数に限られることが容易に分かるので、この値を固定することにした (多くても 160 個程度)。

$b = 2, 3, \dots, 9$ のとき

最初に、 $b = 2, 3, \dots, 9$ の場合を処理することにした。それをしておけば、 $S_{k}$ の値は常に 10 通りと考えてよくなる。

$a-b$ の値を固定しているので、 $a$ の値も決まる。 $S_{1}, S_{2}, \dots, S_{k-1}$ の値を再帰全探索することにした。計算量は際どいが、 $b$ が小さければ $S_{i}$ の候補が少ないし、 $b$ が大きければ $k$ の値が少なく済むしで、探索領域は、それほど多くならないと見積もれた。

$k = 2$ のとき

この場合は

$S_{1} (a - b) = X$

となる $S_{1}, S_{2}, a, b$ の個数を求める。 $a-b$ の値はそもそも決めているので、 $S_{1}$ の値は自動的に決まる ( $a-b$ が $X$ の約数でない場合はダメ)。

$b \ge 10$ と $a \le N$ を満たす範囲の個数を求めれば OK。

$k = 3$ のとき

この場合は

$S_{1} (a^{2} - b^{2}) + S_{2}(a - b) = X$

となる $S_{1}, S_{2}, S_{3}, a, b$ の個数を求める。 $a-b$ の値は決まっているので、 $X' = X / (a - b)$ として

$S_{1} (a + b) + S_{2} = X'$

となる。 $S_{1}, S_{2}$ の値を全探索することにした。高々 100 通りしかない。そうすると $a + b$ の値が決まるので、 $a, b$ の値も決まる。それが条件を満たすかを check すればよい。

$k \ge 4$ のとき

$k$ がここまで大きくなると、そもそも $a \le 300$ くらいまで試せば十分になる。よって、ここから先は全探索で問題なさそうだとなった。

コード

以上の場合分けを実装した。24ms で通った。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define COUT(x) cout << #x << " = " << (x) << " (L" << __LINE__ << ")" << endl
template<class T1, class T2> ostream& operator << (ostream &s, pair<T1,T2> P)
{ return s << '<' << P.first << ", " << P.second << '>'; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, vector<T> P)
{ for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { if (i > 0) { s << " "; } s << P[i]; } return s; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, deque<T> P)
{ for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { if (i > 0) { s << " "; } s << P[i]; } return s; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, vector<vector<T> > P)
{ for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { s << endl << P[i]; } return s << endl; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, set<T> P)
{ for(auto it : P) { s << "<" << it << "> "; } return s; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, multiset<T> P)
{ for(auto it : P) { s << "<" << it << "> "; } return s; }
template<class T1, class T2> ostream& operator << (ostream &s, map<T1,T2> P)
{ for(auto it : P) { s << "<" << it.first << "->" << it.second << "> "; } return s; }

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};

// Binomial coefficient
template<class mint> struct BiCoef {
    vector<mint> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].get_mod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr mint com(int n, int k) const {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr mint fact(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr mint inv(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr mint finv(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;

int main() {
    // 入力
    long long N, X;
    cin >> N >> X;
    vector<long long> divs;
    for (long long i = 1; i * i <= X; ++i) {
        if (X % i == 0) {
            divs.push_back(i);
            if (X / i != i) divs.push_back(X / i);
        }
    }
    sort(divs.begin(), divs.end());
    
    mint res = 0;
    for (auto d : divs) {
        // a-b, a^2-b^2, a^3-b^3, ... の係数の個数を全探索 (K まで)
        auto calc = [&](long long a, long long b, long long K = -1) -> mint {
            if (a > N) return 0;
            
            mint res = 0;
            auto rec = [&](auto self, long long v, long long pa, long long pb, long long k)
            -> void {
                long long papb = pa - pb;
                if (v > X || papb > X) return;
                if (K != -1 && k >= K) return;
                for (long long i = 0; i < min(b, 10LL); ++i) {
                    if (v + papb * i > X) break;
                    else if ((K == -1 || k == K-1) && i >= 1 && v + papb * i == X) {
                        ++res;
                        break;
                    }
                    self(self, v + papb * i, pa * a, pb * b, k + 1);
                }
            };
            rec(rec, 0, a, b, 1);
            return res;
        };
        
        // b = 2, 3, ..., 9
        for (long long b = 2; b <= 9; ++b) {
            long long a = b + d;
            mint tmp = calc(a, b);
            res += tmp * min(b, 10LL);;
        }
        
        // K = 2, b >= 10
        mint two = 0;
        for (long long S = 1; S <= 9; ++S) {
            if (S * d != X) continue;
            long long maxb = N - d;
            two += max(maxb - 9, 0LL);
        }
        res += two * 10;
        
        // K = 3, b >= 10
        mint three = 0;
        for (long long S1 = 1; S1 <= 9; ++S1) {
            for (long long S2 = 0; S2 <= 9; ++S2) {
                long long v = X / d - S2;
                if (v <= 0 || v % S1 != 0) continue;
                long long ab = v / S1;
                if ((ab + d) % 2 == 1) continue;
                long long a = (ab + d) / 2, b = (ab - d) / 2;
                if (b < 10 || a > N) continue;
                ++three;
            }
        }
        res += three * 10;
        
        // K >= 4, b >= 10
        for (long long K = 4; K <= 6; ++K) {
            for (long long b = 10; b <= 300; ++b) {
                long long a = b + d;
                mint tmp = calc(a, b, K);
                res += tmp * 10;
            }
        }

    }
    cout << res << endl;
}

解説を読んで

解説を読むと、 $S_{1}, S_{2}, \dots, S_{k}$ の値って全探索する必要はないらしい。Greedy に決まる模様。

けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

AtCoder ABC 322 G - Two Kinds of Base (赤色, 600 点)