AtCoder ARC 171 C - Swap on Tree (黄色, 600 点)

備忘録として。解説よりもおそらく面倒な DP をした。

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問題概要

考えたこと

基本的に木 DP のノリで考えることにした。

根を 1 つとったとき、異なる部分木間で交換される頂点はただだか 1 個以内である。そこで次の DP をした。

---

dp[v][k] ← 頂点 を根とする部分木について、ある時点において根の部分に来ている頂点の個数が 種類であるような操作列によって、出来上がる数列の個数

---

種類という部分を指定しないと、異なる部分木間の頂点のやりとりの部分で上手く遷移を作れなかった。

計算量は、解法全体を通して二乗の木 DP をすることで となった。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using pint = pair<int, int>;
using pll = pair<long long, long long>;
template<class T> inline bool chmax(T& a, T b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<class T> inline bool chmin(T& a, T b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; }

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    // inner value
    long long val;
    
    // constructor
    constexpr Fp() : val(0) { }
    constexpr Fp(long long v) : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr long long get() const { return val; }
    constexpr int get_mod() const { return MOD; }
    
    // arithmetic operators
    constexpr Fp operator + () const { return Fp(*this); }
    constexpr Fp operator - () const { return Fp(0) - Fp(*this); }
    constexpr Fp operator + (const Fp &r) const { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp &r) const { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp &r) const { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp &r) const { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp &r) {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp &r) {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp &r) {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp &r) {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp pow(long long n) const {
        Fp res(1), mul(*this);
        while (n > 0) {
            if (n & 1) res *= mul;
            mul *= mul;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    constexpr Fp inv() const {
        Fp res(1), div(*this);
        return res / div;
    }

    // other operators
    constexpr bool operator == (const Fp &r) const {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp &r) const {
        return this->val != r.val;
    }
    constexpr Fp& operator ++ () {
        ++val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -- () {
        if (val == 0) val += MOD;
        --val;
        return *this;
    }
    constexpr Fp operator ++ (int) const {
        Fp res = *this;
        ++*this;
        return res;
    }
    constexpr Fp operator -- (int) const {
        Fp res = *this;
        --*this;
        return res;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD> &x) {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD> &x) {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> pow(const Fp<MOD> &r, long long n) {
        return r.pow(n);
    }
    friend constexpr Fp<MOD> inv(const Fp<MOD> &r) {
        return r.inv();
    }
};

// Binomial coefficient
template<class mint> struct BiCoef {
    vector<mint> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].get_mod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr mint com(int n, int k) const {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr mint fact(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr mint inv(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr mint finv(int n) const {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;
using Graph = vector<vector<int>>;

int main() {
    int N;
    cin >> N;
    Graph G(N);
    for (int i = 0; i < N-1; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        --u, --v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    BiCoef<mint> bc(N+1);
    
    vector<int> siz(N, 0);
    vector<vector<mint>> dp(N, vector<mint>(N, 0));
    vector<mint> sumdp(N, 0);
    auto rec = [&](auto rec, int v, int p) -> void {
        int C = 0;
        for (auto ch : G[v]) {
            if (ch == p) continue;
            rec(rec, ch, v);
            ++C;
        }
        
        siz[v] = 1;
        vector<mint> dp2(C+2, 0);
        dp2[1] = 1;
        for (auto ch : G[v]) {
            if (ch == p) continue;
            siz[v] += siz[ch];
            
            vector<mint> nex(C+2, 0);
            for (int k = 0; k <= C+1; ++k) {
                nex[k] += dp2[k] * sumdp[ch];
                for (int l = 1; l <= siz[ch]; ++l) {
                    if (k+1 <= C+1) nex[k+1] += dp2[k] * dp[ch][l] * l;
                }
            }
            swap(dp2, nex);
        }
        sumdp[v] = 0;
        for (int k = 1; k <= C+1; ++k) {
            dp[v][k] = dp2[k] * bc.fact(k-1);
            sumdp[v] += dp[v][k];
        }
    };
    rec(rec, 0, -1);
    cout << sumdp[0] << endl;
}