Codeforces Round #557 (Div. 1) D. Palindrome XOR (R2400)

面白かった。重み付き Union-Find を使った。

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問題概要

0 と 1 と ? のみからなる長さ の文字列 が与えられる。先頭の文字が 1 であることが保証されている。

以下の条件を満たす整数の組 () の個数を求めよ。

• はともに回文数である (11 や 101 など)
• XOR を計算したとき、 の '?' 以外の部分については値が一致する

制約

• 

考えたこと

のどちらかの桁数は 桁でなければならない。とりあえず の桁数を 桁に固定して考えることにした。

• が 桁未満のときは、求めた個数を全体に合算
• も 桁であるときには、求めた個数を 1/2 にして全体に加算 ( であるものと であるものが半数ずつになるため)

の桁数 を のそれぞれについて考えることにする。このとき、 や の各桁の値は 次元の 0-1 ベクトルとみなせる。この 個の 0-1 変数は

• の最上位の値は 1
• のうち、 桁目より大きいところは に一致 (? 以外)
• と の 桁目の XOR 和は の該当桁に一致 (? 以外)
• と は回文数

という条件を満たすようにする。でもこれは

• or
• XOR or

という 2 タイプの式なので、F2 体上の重み付き Union-Find で管理できる。「根の値の確定しないグループの個数」を として、 通りと求められる。

コード

の計算量となる。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;

// Union-Find
template<class Abel> struct UnionFind {
    const Abel UNITY_SUM = 0;      // to be set
    vector<int> par;
    vector<Abel> diff_weight;
    vector<Abel> val;
    vector<int> onum; // 根が 0 のときの 1 の個数

    UnionFind() { }
    UnionFind(int n) : par(n, -1), diff_weight(n, UNITY_SUM)
                     , val(n, -1), onum(n, 0) {}
    int root(int x) {
        if (par[x] < 0) return x;
        else {
            int r = root(par[x]);
            diff_weight[x] ^= diff_weight[par[x]];
            return par[x] = r;
        }
    }
    
    Abel calc_weight(int x) {
        int rx = root(x);
        return diff_weight[x];
    }
    
    bool issame(int x, int y) {
        return root(x) == root(y);
    }

    void set(int x, Abel w) {
        auto rx = root(x);
        auto dw = diff_weight[x];
        val[rx] = w ^ dw;
    }
    
    bool merge(int x, int y, Abel w = 0) {
        w ^= calc_weight(x); w ^= calc_weight(y);
        x = root(x), y = root(y);
        if (x == y) return false;
        if (par[x] > par[y]) swap(x, y); // merge technique
        
        if (w == 0) onum[x] += onum[y];
        else onum[x] += -par[y] - onum[y];

        if (val[y] != -1) val[x] = val[y] ^ w;
        par[x] += par[y];
        par[y] = x;
        diff_weight[y] = w;
        return true;
    }
    
    Abel diff(int x, int y) {
        return calc_weight(y) ^ calc_weight(x);
    }
    
    int size(int x) {
        return -par[root(x)];
    }

    int get_onum(int x) {
        x = root(x);
        if (val[x] == -1) return min(onum[x], -par[x] - onum[x]);
        else if (val[x] == 0) return onum[x];
        else return -par[x] - onum[x];
    }
};

mint solve(const string &S) {
    mint res = 0;
    int N = (int)S.size();
    for (int M = 1; M <= N; ++M) {
        UnionFind<int> uf(N+M);

        auto merge = [&](int i, int j, int w) -> bool {
            if (uf.issame(i, j)) {
                if (uf.diff(i, j) != w) return false;
                else return true;
            } else {
                 w ^= uf.calc_weight(i); w ^= uf.calc_weight(j);
                i = uf.root(i), j = uf.root(j);
                if (uf.val[i] != -1 && uf.val[j] != -1 && (uf.val[i] ^ uf.val[j]) != w) return false;
                uf.merge(i, j, w);
                return true;
            }
        };
        bool ok = true;
        for (int i = 0; i < N-M; ++i) {
            if (S[i] == '0') uf.set(i, 0);
            else if (S[i] == '1') uf.set(i, 1);
        }
        uf.set(0, 1);
        uf.set(N, 1);
        for (int i = 0; i < N; ++i) if (!merge(i, N-i-1, 0)) ok = false;
        for (int i = 0; i < M; ++i) if (!merge(i+N, M-i-1 + N, 0)) ok = false;

        for (int i = N-M; i < N; ++i) {
            if (S[i] == '0') { if (!merge(i, i+M, 0)) ok = false; }
            else if (S[i] == '1') { if (!merge(i, i+M, 1)) ok = false; }
        }

        if (!ok) continue;
        
        mint tmp = 1;
        for (int v = 0; v < N+M; ++v) {
            if (uf.root(v) != v) continue;
            if (uf.val[v] == -1) tmp *= 2;
        }
        if (M == N) res += tmp / 2;
        else res += tmp;  
    }
    return res;
}

int main() {
    string S;
    cin >> S;
    cout << solve(S) << endl;
}