けんちょんの競プロ精進記録

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AtCoder ABC 132 D - Blue and Red Balls (400 点)

二項係数が吹き荒れる!!!!!!!!!
そして、重複組み合わせに関する理解がすごく問われる問題!!!!!!!

問題へのリンク

問題概要

 N 個のボールがあって、そのうちの  K 個が青で、残りの  N-K 個が赤である。同じ色のボールは互いに区別できない。

 k = 1, 2, \dots, K に対して、

ボールを一列に並べる  {}_{N}{\rm C}_{K} 通りの方法のうち、青いボールが連続して並んでいる区間の個数がちょうど  k 箇所であるようなものが何通りあるか、 1000000007 で割ったあまりを求めよ。

制約

  •  1 \le K \le N \le 2000

考えたこと

一目見て DP したくなるのだけど、DP しようと思うと

  • dp[ i ][ j ][ k ][ 2 ] := 合計 i 個のボールのうち j 個が青であるようなもので、青区間が連続して k 個あるような、そして最後のボールが (赤か青か) であるような場合の数

という風にしたくなる。このままだと  O(NK^{2}) かかってしまい、間に合わない。工夫しどころはたくさんあるのだけど、とりあえず

(赤区間) (青区間) (赤区間) (青区間) (赤区間)...

みたいに並べたときに、それぞれの色の区間に何個ずつあるかというのは独立に考えて良いことに注目できる。つまり、


  • 青ボール  K 個を  k グループに分割する方法
  • 赤ボール  N-K 個を的確に分割する方法

を独立に考えて良い。つまり、青を何個ずつに分割するかは赤にとっては関係なく、赤を何個ずつに分割するかも青にとっては関係ない


ということがわかる。こういう風に問題を独立な問題に分割するのは、すごくよくある。

そして青ボール分割方法や、赤ボール分割方法を考える上で、重複組合せの考え方が重要になる。

重複組合せ

重複組合せについては

を見てもらえたらと思う。一つ言えるのは

  •  x_1 + x_2 + \dots + x_k = n
  •  x_i \ge 0

を満たす整数  (x_1, x_2, \dots, x_k) の組の個数を重複組合せと呼び、 {}_{n + k - 1}{\rm C}_{k-1} 通り。そして

  •  x_1 + x_2 + \dots + x_k = n
  •  x_i \ge 1

を満たす整数  (x_1, x_2, \dots, x_k) の組の個数は  {}_{n-1}{\rm C}_{k-1} 通りになる (下図)。

f:id:drken1215:20190630183112p:plain

青いボールを k 個に分割する方法

これは結構そのままで、 K 個のボールを  k 個のグループに分割する方法である。つまり、

  •  x_1 + x_2 + \dots + x_k = K
  •  x_i \ge 1

を満たす整数の組の個数なので、 {}_{K-1}{\rm C}_{k-1} 通り!!!

赤いボールを適切に分割する方法

こっちの方がちょっとだけややこしい。概ね、 N - K 個のボールを  k+1 個のグループに分割する方法なのだが...(青いボールの  K 個のグループの隙間と、両端)、正確には

  •  x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k} + x_{k+1} = N - K
  •  x_{1} \ge 0
  •  x_{2}, x_{3}, \dots, x_{k} \ge 1
  •  x_{k+1} \ge 0

を満たす整数の組ということになる。青グループの隙間は必ず 1 個以上の赤ボールを埋めないといけないが、両端は別になくてもいいからだ。

こういうときの常套手段は

  •  x_{i} \ge 1

という式に対して、 y_{i} = x_{i} - 1 と変数変換する方法。そうすると、

  •  y_{i} \ge 0

という式になるのだ。反対に

  •  x_{i} \ge 0

という式に対して、 y_{i} = x_{i} + 1 と変数変換すると

  •  y_{i} \ge 1

という式になる。こういう風にして制約式を  \ge 0 \ge 1 との間を自在に行き来できるのだ!!!
両方やってみよう。

1 に揃える

  •  x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k} + x_{k+1} = N - K
  •  x_{1} \ge 0
  •  x_{2}, x_{3}, \dots, x_{k} \ge 1
  •  x_{k+1} \ge 0

に対して

  •  y_{1} = x_{1} + 1
  •  y_{k+1} = x_{k+1} + 1

と変換すると

  •  y_{1} + x_{2} + \dots + x_{k} + y_{k+1} = N - K + 2
  •  y_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}, y_{k+1} \ge 1

となる。よってこの場合の数は  {}_{N-K+1}{\rm C}_{k} 通り。

0 に揃える

  •  y_{2} = x_{2} - 1, \dots, y_{k} = x_{k} - 1

と変換すると

  •  x_{1} + y_{2} + \dots + y_{k} + x_{k+1} = N - K - k + 1
  •  x_{1}, y_{2}, \dots, y_{k}, x_{k+1} \ge 0

となる。この場合の数は  {}_{(N - K - k + 1) + (k + 1) - 1}{\rm C}_{k} = {}_{N-K+1}{\rm C}_{k} 通り。

まとめ

以上から、各  k に対して、

  •  {}_{n-1}{\rm C}_{k-1} \times {}_{N-K+1}{\rm C}_{k} 通り

となる。計算量は

  • 二項係数計算の前処理:  O(N)
  • 各計算: O(K)

ということで  O(N) になる。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// modint: mod 計算を int を扱うように扱える構造体
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) v += MOD;
    }
    constexpr int getmod() { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b; swap(a, b);
            u -= t * v; swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        return is >> x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        auto t = modpow(a, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * a;
        return t;
    }
};

// 二項係数ライブラリ
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].getmod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;
BiCoef<mint> bc;


int main() {
    int N, K; cin >> N >> K;
    bc.init(110000); // 二項係数ライブラリを初期化

    // 求める
    for (int k = 1; k <= K; ++k)
        cout << bc.com(K-1, k-1) * bc.com(N-K+1, k) << endl;
}