けんちょんの競プロ精進記録

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AtCoder ARC 058 D - いろはちゃんとマス目 (400 点)

これが青パフォ!!!!!
時代の進化を感じるところ!!!

問題へのリンク

問題概要

 H \times W のマス目が与えられる。左上から右下へ進む最短経路のうち、

  • 下から  A マス以内、かつ
  • 左から  B マス以内

の範囲内には来ないようなものの個数を、1000000007 で割ったあまりを求めよ。

制約

  •  1 \le H, W \le 10^{5}

考えたこと

 H-1 \times W-1 の格子点の左上から右下へと移動する問題ととらえることにする。このとき下図の黄色の中に入り込んではいけないという問題になる。

これは、下図のように場合分けして求めることにする。つまり「赤線」のどれを通るかで場合分けする。それぞれについて、上から h 番目の赤線を通る場合の数は

  • 左側は h × (B-1) の移動なので、C(h+B-1, h)
  • 右側は (H-1-h) × (W-B-1) の移動なので、C(H+W-h-B-2, H-1-h)

これらの積を合算する。

f:id:drken1215:20200407000434p:plain

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b; swap(a, b);
            u -= t * v; swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        auto t = modpow(a, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * a;
        return t;
    }
};

// 二項係数ライブラリ
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].getmod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;
BiCoef<mint> bc;

int H, W, A, B;
int main() {
    cin >> H >> W >> A >> B;
    bc.init(510000);
    mint res = 0;
    for (int h = 0; h < H-A; ++h) {
        res += bc.com(h+B-1, h) * bc.com(H+W-h-B-2, H-1-h);
    }
    cout << res << endl;
}