こういう系の「個別要素に分解して考える」という問題が三連発だ!!!!!
これもあれも!
問題概要
個の整数 が与えられる。これらから 個を選ぶ 通りの方法についての
- 「選んだ 個の整数の最大値と最小値の差」
の総和を求め、1000000007 で割ったあまりで答えよ。
制約
考えたこと: 個別の要素に分解して考える
いつものことだけど、とりあえず を小さい順にソートして考える!!!
そして、たとえば 1, 3, 4, 5, 7, 9 に対して、1, 5, 7 を選ぶという行為は
- 1-3 間、3-4 間、4-5 間、5-7 間を 1 個ずつ加算する
という処理に対応する。ここで、問題を以下のように言い換える。
各 に対して、 が何回足されるのかを考える (この値を とする)
が求められれば、あとはそれぞれの に対して、 を合計すれば OK。
ci を求める
実は簡単で、 通りの選び方のうち、図の「赤線」を踏まない選び方を引くことを考える。それは
- 「赤線の左側」のみから選ぶ場合の数: 通り
- 「赤線の右側」のみから選ぶ場合の数: 通り
になる。よって、
と求められる。以上から計算量は、最初のソートがボトルネックで となる。
#include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; // modint (1000000007 で割ったあまりを直感的に計算する) template<int MOD> struct Fp { long long val; constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) { if (val < 0) val += MOD; } constexpr int getmod() { return MOD; } constexpr Fp operator - () const noexcept { return val ? MOD - val : 0; } constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; } constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; } constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; } constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; } constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept { val += r.val; if (val >= MOD) val -= MOD; return *this; } constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept { val -= r.val; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept { val = val * r.val % MOD; return *this; } constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b; swap(a, b); u -= t * v; swap(u, v); } val = val * u % MOD; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept { return this->val == r.val; } constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept { return this->val != r.val; } friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept { return os << x.val; } friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept { if (n == 0) return 1; auto t = modpow(a, n / 2); t = t * t; if (n & 1) t = t * a; return t; } }; // 二項係数ライブラリ template<class T> struct BiCoef { vector<T> fact_, inv_, finv_; constexpr BiCoef() {} constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) { init(n); } constexpr void init(int n) noexcept { fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1); int MOD = fact_[0].getmod(); for(int i = 2; i < n; i++){ fact_[i] = fact_[i-1] * i; inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i); finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i]; } } constexpr T com(int n, int k) const noexcept { if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0; return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k]; } constexpr T fact(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return fact_[n]; } constexpr T inv(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return inv_[n]; } constexpr T finv(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return finv_[n]; } }; const int MOD = 1000000007; using mint = Fp<MOD>; BiCoef<mint> bc; int main() { // 二項係数ライブラリを初期化 bc.init(510000); // 入力 (A をソート) int N, K; cin >> N >> K; vector<long long> A(N); for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i]; sort(A.begin(), A.end()); // 合計 mint res = 0; for (int i = 0; i+1 < N; ++i) { mint fac = bc.com(N, K) - bc.com(i+1, K) - bc.com(N-i-1, K); res += fac * (A[i+1] - A[i]); } cout << res << endl; }