けんちょんの競プロ精進記録

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AtCoder ABC 151 E - Max-Min Sums (水色, 500 点)

こういう系の「個別要素に分解して考える」という問題が三連発だ!!!!!
これもあれも!

drken1215.hatenablog.com

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問題へのリンク

問題概要

 N 個の整数  A_{0}, A_{1}, \dots, A_{N-1} が与えられる。これらから  K 個を選ぶ  C(N, K) 通りの方法についての

  • 「選んだ  K 個の整数の最大値と最小値の差」

の総和を求め、1000000007 で割ったあまりで答えよ。

制約

  •  1 \le K \le N \le 10^{5}

考えたこと: 個別の要素に分解して考える

いつものことだけど、とりあえず  A を小さい順にソートして考える!!!

そして、たとえば 1, 3, 4, 5, 7, 9 に対して、1, 5, 7 を選ぶという行為は

  • 1-3 間、3-4 間、4-5 間、5-7 間を 1 個ずつ加算する

という処理に対応する。ここで、問題を以下のように言い換える。


 i (= 0, 1, \dots, N-2) に対して、 A_{i+1} - A_{i} が何回足されるのかを考える (この値を  c_{i} とする)


 c_{i} が求められれば、あとはそれぞれの  i に対して、 c_{i} \times (A_{i+1} - A_{i}) を合計すれば OK。

f:id:drken1215:20200112214542p:plain

ci を求める

実は簡単で、 C(N, K) 通りの選び方のうち、図の「赤線」を踏まない選び方を引くことを考える。それは

  • 「赤線の左側」のみから選ぶ場合の数:  C(i+1, K) 通り
  • 「赤線の右側」のみから選ぶ場合の数:  C(N - (i+1), K) 通り

になる。よって、

  •  c_{i} = C(N, K) - C(i+1, K) - C(N - (i+1), K)

と求められる。以上から計算量は、最初のソートがボトルネック O(N\log{N}) となる。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

// modint (1000000007 で割ったあまりを直感的に計算する)
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b; swap(a, b);
            u -= t * v; swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        auto t = modpow(a, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * a;
        return t;
    }
};

// 二項係数ライブラリ
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].getmod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;
BiCoef<mint> bc;

int main() {
    // 二項係数ライブラリを初期化
    bc.init(510000);

    // 入力 (A をソート)
    int N, K; cin >> N >> K;
    vector<long long> A(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i];
    sort(A.begin(), A.end());

    // 合計
    mint res = 0;
    for (int i = 0; i+1 < N; ++i) {
        mint fac = bc.com(N, K) - bc.com(i+1, K) - bc.com(N-i-1, K);
        res += fac * (A[i+1] - A[i]);
    }
    cout << res << endl;
}