期待値の線形性的な。

問題概要

$N$ 体のスライムがそれぞれ $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N-1}$ の位置にいる (これらは単調増加)。

以下の $(N-1)!$ 通りのスライム合体過程それぞれについて、スライムの移動距離の総和を考える。その総和距離の総和を求めよ。1000000007 で割ったあまりでも求めよ。

スライム $0, 1, \dots, N-2$ を動かす順序を決めて
動かすスライムが「自分の右にいるスライムのうち最も左にあるスライム」のところに移動して合体する

制約

$2 \le N \le 10^{5}$

考えたこと

この手のものは、各区間 $\lbrack x_{i}, x_{i+1})$ について、その区間が通過される回数の期待値を考えれば OK。

まず区間 $\lbrack x_{0}, x_{1})$ については、どんな順序だろうとスライム 0 が 1 回だけ通る (1 回)
区間 $\lbrack x_{1}, x_{2})$ については、スライム 0, 1 の選択順序のみに依存するが、スライム 0 が先に選択されると 1 回、スライム 1 が先に選択されると 2 回なので、期待値は 3/2 回
区間 $\lbrack x_{2}, x_{3})$ については、スライム 0, 1, 2 の選択順序のみに依存する。スライム 2 が通過する確率は 1、スライム 1 が通過する確率は (2 よりあとに選ばれればよいので) 1/2、スライム 0 が通過する確率は、(1, 2 よりあとに選ばれればよいので) 1/3。合計して 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6 回

一般に、区間 $\lbrack x_{i}, x_{i+1})$ については、通過される回数の期待値は

$1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{i+1}$ 回

となる。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// modint: mod 計算を int を扱うように扱える構造体
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b; swap(a, b);
            u -= t * v; swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        auto t = modpow(a, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * a;
        return t;
    }
};

template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].getmod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 1000000007;
using mint = Fp<MOD>;
BiCoef<mint> bc;

int main() {
    int N; cin >> N;
    vector<long long> x(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> x[i];
    bc.init(N+1);

    mint res = 0;
    mint kaisuu = 1;
    for (int i = 0; i + 1 < N; ++i) {
        res += kaisuu * (x[i+1] - x[i]);
        kaisuu += mint(1) * bc.inv(i+2);
    }
    cout << res * bc.fact(N-1) << endl;
}