あまり良くない方針でゴリ押してしまった。でもゴリ押しで通せることの証左になるかと思って記録してみることに
問題概要
下図のような「円の列」の内部だけを通る折れ線 (最初の円の中心と、最後の円の中心とを結ぶ) の長さの最小値を求めよ。
- 円 i と円 i+1 は相異なる 2 点で交わる
- 円 i と円 i+2 は共有点をもたない
考えたこと
とりあえず、円と円との交点が 個あって、それとスタートとゴールとを合わせた
個の点のみを考えればいいことはすぐにわかる。円の交点はこんな感じの実装でもとめられる。そして、頂点数
のグラフの最短路問題となる。DAG とみなして DP するなり、Dijkstra するなりで求められる。
ここで問題になるのは
- 点 a と点 b とを結ぶ線分が、円列の内部にきちんとおさまるかどうか
をどうやって判定したらよいか。これがこの問題の本質になる。想定された解法は
円と円との交わりを表す弦が 本あると考えて
- 点 a から点 b とを結ぶ線分が、a と b との間にある弦すべてと交わるかどうか
を判定すればよい
というもの。つまり、ここから先は「円」について考察しなくてよくなって、「線分」だけの問題となっている。
僕は、この方針に思い至らず、円と線分との関係の問題としてとらえてしまい、次のようにしてゴリ押した
線分 ab と各円との交点を列挙して、それを順に並べたとき、「隣接する交点」の中点すべてについて、それがいずれかの円に包含されるかどうかを調べる
とした。これでも通った。
// // 円と円の交点 // // verified: // AOJ 1183 鎖中経路 // http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=1183&lang=jp // #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> #include <iomanip> #include <algorithm> using namespace std; //////////////////////////// // 基本要素 (点, 線分, 円) //////////////////////////// using DD = double; const DD INF = 1LL << 60; // to be set appropriately const DD EPS = 1e-5; // to be set appropriately const DD PI = acos(-1.0); DD torad(int deg) { return (DD)(deg)* PI / 180; } DD todeg(DD ang) { return ang * 180 / PI; } /* Point */ struct Point { DD x, y; Point(DD x = 0.0, DD y = 0.0) : x(x), y(y) {} friend ostream& operator << (ostream &s, const Point &p) { return s << '(' << p.x << ", " << p.y << ')'; } }; inline Point operator + (const Point &p, const Point &q) { return Point(p.x + q.x, p.y + q.y); } inline Point operator - (const Point &p, const Point &q) { return Point(p.x - q.x, p.y - q.y); } inline Point operator * (const Point &p, DD a) { return Point(p.x * a, p.y * a); } inline Point operator * (DD a, const Point &p) { return Point(a * p.x, a * p.y); } inline Point operator * (const Point &p, const Point &q) { return Point(p.x * q.x - p.y * q.y, p.x * q.y + p.y * q.x); } inline Point operator / (const Point &p, DD a) { return Point(p.x / a, p.y / a); } inline Point conj(const Point &p) { return Point(p.x, -p.y); } inline Point rot(const Point &p, DD ang) { return Point(cos(ang) * p.x - sin(ang) * p.y, sin(ang) * p.x + cos(ang) * p.y); } inline Point rot90(const Point &p) { return Point(-p.y, p.x); } inline DD cross(const Point &p, const Point &q) { return p.x * q.y - p.y * q.x; } inline DD dot(const Point &p, const Point &q) { return p.x * q.x + p.y * q.y; } inline DD norm(const Point &p) { return dot(p, p); } inline DD abs(const Point &p) { return sqrt(dot(p, p)); } inline DD amp(const Point &p) { DD res = atan2(p.y, p.x); if (res < 0) res += PI * 2; return res; } inline bool eq(const Point &p, const Point &q) { return abs(p - q) < EPS; } inline bool operator < (const Point &p, const Point &q) { return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x < q.x : p.y < q.y); } inline bool operator >(const Point &p, const Point &q) { return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x > q.x : p.y > q.y); } inline Point operator / (const Point &p, const Point &q) { return p * conj(q) / norm(q); } /* Line */ struct Line : vector<Point> { Line(Point a = Point(0.0, 0.0), Point b = Point(0.0, 0.0)) { this->push_back(a); this->push_back(b); } friend ostream& operator << (ostream &s, const Line &l) { return s << '{' << l[0] << ", " << l[1] << '}'; } }; /* Circle */ struct Circle : Point { DD r; Circle(Point p = Point(0.0, 0.0), DD r = 0.0) : Point(p), r(r) {} friend ostream& operator << (ostream &s, const Circle &c) { return s << '(' << c.x << ", " << c.y << ", " << c.r << ')'; } }; //////////////////////////// // 円や直線の交点 //////////////////////////// Point proj_for_crosspoint(const Point &p, const Line &l) { DD t = dot(p - l[0], l[1] - l[0]) / norm(l[1] - l[0]); return l[0] + (l[1] - l[0]) * t; } vector<Point> crosspoint(const Line &l, const Line &m) { vector<Point> res; DD d = cross(m[1] - m[0], l[1] - l[0]); if (abs(d) < EPS) return vector<Point>(); res.push_back(l[0] + (l[1] - l[0]) * cross(m[1] - m[0], m[1] - l[0]) / d); return res; } vector<Point> crosspoint(const Circle &e, const Circle &f) { vector<Point> res; DD d = abs(e - f); if (d < EPS) return vector<Point>(); if (d > e.r + f.r + EPS) return vector<Point>(); if (d < abs(e.r - f.r) - EPS) return vector<Point>(); DD rcos = (d * d + e.r * e.r - f.r * f.r) / (2.0 * d), rsin; if (e.r - abs(rcos) < EPS) rsin = 0; else rsin = sqrt(e.r * e.r - rcos * rcos); Point dir = (f - e) / d; Point p1 = e + dir * Point(rcos, rsin); Point p2 = e + dir * Point(rcos, -rsin); res.push_back(p1); if (!eq(p1, p2)) res.push_back(p2); return res; } vector<Point> crosspoint(const Circle &e, const Line &l) { vector<Point> res; Point p = proj_for_crosspoint(e, l); DD rcos = abs(e - p), rsin; if (rcos > e.r + EPS) return vector<Point>(); else if (e.r - rcos < EPS) rsin = 0; else rsin = sqrt(e.r * e.r - rcos * rcos); Point dir = (l[1] - l[0]) / abs(l[1] - l[0]); Point p1 = p + dir * rsin; Point p2 = p - dir * rsin; res.push_back(p1); if (!eq(p1, p2)) res.push_back(p2); return res; } // 円と線分の交点 int ccw_for_crosspoint_cs(const Point &a, const Point &b, const Point &c) { if (cross(b-a, c-a) > EPS) return 1; if (cross(b-a, c-a) < -EPS) return -1; if (dot(b-a, c-a) < -EPS) return 2; if (norm(b-a) < norm(c-a) - EPS) return -2; return 0; } bool isinterPS_crosspoint_cs(const Point &p, const Line &s) { return (ccw_for_crosspoint_cs(s[0], s[1], p) == 0); } vector<Point> crosspoint_CS(const Circle &e, const Line &s) { vector<Point> res; Point p = proj_for_crosspoint(e, s); DD rcos = abs(e - p), rsin; if (rcos > e.r + EPS) return vector<Point>(); else if (e.r - rcos < EPS) rsin = 0; else rsin = sqrt(e.r * e.r - rcos * rcos); Point dir = (s[1] - s[0]) / abs(s[1] - s[0]); Point p1 = p + dir * rsin; Point p2 = p - dir * rsin; if (isinterPS_crosspoint_cs(p1, s)) res.push_back(p1); if (isinterPS_crosspoint_cs(p2, s) && !eq(p1, p2)) res.push_back(p2); return res; } //////////////////////////// // AOJ 1183 鎖中経路 //////////////////////////// bool isin(const vector<Circle> &cs, const Line &l) { vector<Point> vps; for (auto c : cs) { auto cps = crosspoint_CS(c, l); for (auto p : cps) vps.push_back(p); } sort(vps.begin(), vps.end()); for (int i = 0; i+1 < vps.size(); ++i) { Point p = (vps[i] + vps[i+1]) / 2; bool exist = false; for (auto c : cs) { if (abs(c - p) < c.r + EPS) exist = true; } if (!exist) return false; } return true; } int main() { int N; while (cin >> N, N) { vector<Circle> cs(N); for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> cs[i].x >> cs[i].y >> cs[i].r; vector<Point> ips; ips.push_back(Point(cs[0].x, cs[0].y)); for (int i = 0; i+1 < N; ++i) { auto cp = crosspoint(cs[i], cs[i+1]); for (auto p : cp) ips.push_back(p); } ips.push_back(Point(cs[N-1].x, cs[N-1].y)); vector<DD> dp((int)ips.size() + 1, INF); dp[0] = 0; for (int i = 0; i < ips.size(); ++i) { for (int j = i+1; j < ips.size(); ++j) { Line l(ips[i], ips[j]); if (isin(cs, l)) dp[j] = min(dp[j], dp[i] + abs(l[0] - l[1])); } } cout << fixed << setprecision(10) << dp[(int)ips.size()-1] << endl; } }
