けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

AOJ 2423 コードアートオンライン / Code Art Online

最小包含円と、マッチングの二部構成問題

問題へのリンク

問題概要

 N 個の円 ( 1, 2, \dots, N と番号付けされている) と、 M 個の多角形 ( 1, 2, \dots, M と番号付けされている) とが与えられる。

  • 各円は、中心の座標と半径
  • 各多角形は、各頂点の座標

が与えられる。すべての多角形が、いずれかの円にしっかりと収まるようにしたい。そのようなことが可能かどうか判定し、可能ならば (多角形 1 が入る円番号, 多角形 2 が入る円番号, ..., 多角形  M が入る円番号) が辞書順最小になるものを求めよ。

制約

  •  1 \le M \le N \le 100

考えたこと

公式解説はここ

rippro.org

この問題は次の二部パートにわかれる

  • 多角形  p が円  c に収まるかどうかを判定
  • 辞書順最小な二部マッチングを求める

前半は、多角形の最小包含円を求めれば OK。最小包含円を求める問題は、AtCoder でそのまま出た!ここでは、三分探索でやってみた。

drken1215.hatenablog.com

二部マッチングパートは、辞書順という要求がなかったら、Greedy にできる。辞書順最小という要求は間に合うならば

  • 1 個目の多角形を円 1 に割り当てても最大マッチングを達成できるか判定し、できなかったら円 2 を...

という風にやっていけば OK。

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

using DD = double;
const DD INF = 1LL<<60;      // to be set appropriately
const DD EPS = 1e-6;        // to be set appropriately
const DD PI = acosl(-1.0);
DD torad(int deg) {return (DD)(deg) * PI / 180;}
DD todeg(DD ang) {return ang * 180 / PI;}

/* Point */
struct Point {
    DD x, y;
    Point(DD x = 0.0, DD y = 0.0) : x(x), y(y) {}
    friend ostream& operator << (ostream &s, const Point &p) {return s << '(' << p.x << ", " << p.y << ')';}
};
inline Point operator + (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x + q.x, p.y + q.y);}
inline Point operator - (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x - q.x, p.y - q.y);}
inline Point operator * (const Point &p, DD a) {return Point(p.x * a, p.y * a);}
inline Point operator * (DD a, const Point &p) {return Point(a * p.x, a * p.y);}
inline Point operator * (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x * q.x - p.y * q.y, p.x * q.y + p.y * q.x);}
inline Point operator / (const Point &p, DD a) {return Point(p.x / a, p.y / a);}
inline Point conj(const Point &p) {return Point(p.x, -p.y);}
inline Point rot(const Point &p, DD ang) {return Point(cos(ang) * p.x - sin(ang) * p.y, sin(ang) * p.x + cos(ang) * p.y);}
inline Point rot90(const Point &p) {return Point(-p.y, p.x);}
inline DD cross(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.y - p.y * q.x;}
inline DD dot(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.x + p.y * q.y;}
inline DD norm(const Point &p) {return dot(p, p);}
inline DD abs(const Point &p) {return sqrt(dot(p, p));}
inline DD amp(const Point &p) {DD res = atan2(p.y, p.x); if (res < 0) res += PI*2; return res;}
inline bool eq(const Point &p, const Point &q) {return abs(p - q) < EPS;}
inline bool operator < (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x < q.x : p.y < q.y);}
inline bool operator > (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x > q.x : p.y > q.y);}
inline Point operator / (const Point &p, const Point &q) {return p * conj(q) / norm(q);}

// 最小包含円
const int ITER = 100;

DD f(const vector<Point> &v, DD x, DD y) {
    DD res = 0;
    for (int i = 0; i < v.size(); ++i) res = max(res, abs(v[i] - Point(x, y)));
    return res;
}

DD g(const vector<Point> &v, DD x) {
    DD left = -10000, right = 10000;
    for (int _ = 0; _ < ITER; ++_) {
        DD m1 = (left * 2 + right) / 3;
        DD m2 = (left + right * 2) / 3;
        if (f(v, x, m1) > f(v, x, m2)) left = m1;
        else right = m2;
    }
    return f(v, x, left);
}

DD mic(const vector<Point> &v) {
    DD left = -10000, right = 10000;
    for (int _ = 0; _ < ITER; ++_) {
        DD m1 = (left * 2 + right) / 3;
        DD m2 = (left + right * 2) / 3;
        if (g(v, m1) > g(v, m2)) left = m1;
        else right = m2;
    }
    return g(v, left);
}

// 人がすべてマッチできるか
bool can(vector<DD> person, vector<DD> ana) {
    sort(person.begin(), person.end());
    sort(ana.begin(), ana.end());
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < person.size(); ++i) {
        while (j < ana.size() && person[i] > ana[j] + EPS) ++j;
        if (j == ana.size()) return false;
        ++j;
    }
    return true;
}

int main() {
    int N, M; cin >> N >> M;
    vector<pair<DD,int>> r(N), p(M);
    vector<vector<Point>> vp(M);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> r[i].first, r[i].second = i;
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        int a; cin >> a;
        vp[i].resize(a);
        for (int j = 0; j < a; ++j) cin >> vp[i][j].x >> vp[i][j].y;
        p[i] = {mic(vp[i]), i};
    }

    vector<DD> person, ana;
    for (int i = 0; i < p.size(); ++i) person.push_back(p[i].first);
    for (int i = 0; i < r.size(); ++i) ana.push_back(r[i].first);
    if (!can(person, ana)) {
        cout << "NG" << endl;
        return 0;
    }

    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        vector<DD> person;
        for (int j = i+1; j < M; ++j) person.push_back(p[j].first);
        for (int j = 0; j < r.size(); ++j) {
            if (p[i].first > r[j].first + EPS) continue;
            vector<DD> ana;
            for (int k = 0; k < r.size(); ++k) {
                if (k == j) continue;
                ana.push_back(r[k].first);
            }
            if (can(person, ana)) {
                cout << r[j].second + 1 << endl;
                r.erase(r.begin()+j);
                break;
            }
        }
    }
}