木の走査って
- 根の方から情報を配っていく
- 子ノードたちの情報を引っ張ってくる (いわゆる木 DP)
という二つの方向性があって、状況に応じてうまいこと使い分けるとよいイメージがある。
問題概要
頂点の木があたえられる。木の各頂点を 色に塗り分ける方法のうち、どの距離が 2 以下の二頂点も異なる色になるようにする方法が何通りあるか、1000000007 で割ったあまりを求めよ。
制約
考えたこと
こういうの一目、木 DP なのだけど、ちょっと手を動かしてみると
なんか頂点を見ていくごとに、各頂点について「自由度」が決まって、その積が答えになる
みたいな雰囲気をかすかに感じた。なのでその直感を信じると、子ノードから頑張って情報を引っ張って木 DP する、というよりは単純に各ノードを見ていくだけで答えが求まりそう。
詰めてみる
根をとりあえず決める。
- 根はどう塗ってもいいので 通り
- 根の子頂点たちは、根と同じ色ではダメで、さらに互いにどの頂点も色が異なっていなければならないので、その個数を とすると、 通りになる
- それより深いところにある頂点 v についてその子頂点たちは、v とその親とは色が異なっていなければならず、さらに互いにどの頂点も色が異なっていなければならないので、その個数を とすると、 通りになる
という感じで、根から下へ下がっていって掛け算していけば答えになる。
modint
以下の実装では、
- 1000000007 で割ったあまりを直感的に扱う構造体 modint
- 二項係数ライブラリ
を用いている。
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; // modint (1000000007 で割ったあまりを扱う構造体) template<int MOD> struct Fp { long long val; constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) { if (val < 0) v += MOD; } constexpr int getmod() { return MOD; } constexpr Fp operator - () const noexcept { return val ? MOD - val : 0; } constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; } constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; } constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; } constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; } constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept { val += r.val; if (val >= MOD) val -= MOD; return *this; } constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept { val -= r.val; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept { val = val * r.val % MOD; return *this; } constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b; swap(a, b); u -= t * v; swap(u, v); } val = val * u % MOD; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept { return this->val == r.val; } constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept { return this->val != r.val; } friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept { return os << x.val; } friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD>& x) noexcept { return is >> x.val; } friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept { if (n == 0) return 1; auto t = modpow(a, n / 2); t = t * t; if (n & 1) t = t * a; return t; } }; // 二項係数ライブラリ template<class T> struct BiCoef { vector<T> fact_, inv_, finv_; constexpr BiCoef() {} constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) { init(n); } constexpr void init(int n) noexcept { fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1); int MOD = fact_[0].getmod(); for(int i = 2; i < n; i++){ fact_[i] = fact_[i-1] * i; inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i); finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i]; } } constexpr T com(int n, int k) const noexcept { if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0; return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k]; } constexpr T fact(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return fact_[n]; } constexpr T inv(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return inv_[n]; } constexpr T finv(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return finv_[n]; } }; const int MOD = 1000000007; using mint = Fp<MOD>; BiCoef<mint> bc; int N, K; vector<vector<int>> G; void rec(int v, int p, mint &res, int depth) { int chs = 0; for (auto ch : G[v]) { if (ch == p) continue; ++chs; rec(ch, v, res, depth+1); } if (depth == 0) res *= bc.com(K-1, chs) * bc.fact(chs); else res *= bc.com(K-2, chs) * bc.fact(chs); } int main() { bc.init(110000); cin >> N >> K; G.assign(N, vector<int>()); for (int i = 0; i < N-1; ++i) { int a, b; cin >> a >> b; --a, --b; G[a].push_back(b); G[b].push_back(a); } mint res = 1; rec(0, -1, res, 0); }