本番は「どのように $p, q$ に分けても絶対値和は等しい」ということに気づかず、ものすごくエグい二項係数計算を頑張って綺麗な表式を得た。

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問題概要

長さが $2N$ の数列 $a_{1}, \dots, a_{2N}$ が与えられる。

数列を $N$ 個ずつのペア (順序の違いは考慮する) に分ける方法は ${}_{2N}{\rm C}_{N}$ 通り考えられる。そのそれぞれについての以下の値の総和を 998244353 で割ったあまりを求めよ。

2 つの数列を $p$ , $q$ とする
$p$ は小さい順にソートし、 $q$ は大きい順にソートする
スコアを $\sum_{i} |p_{i} - q_{i}|$ とする

制約

$1 \le N \le 150000$

解法

これ知って衝撃だったのだけど、どのように $p, q$ に分けてもスコアは以下の一定値になる。 $a$ を小さい順にソートしておくと、スコアは常に以下の一定値になる。

$A = (a_{N+1} + \dots + a_{2N}) - (a_{1} + \dots + a_{N})$

でも少し考えてみたら、それはそうだった。

$p_{i}$ と $q_{i}$ がともに前半に来ることはないし、ともに後半に来ることもない (個数を冷静に考えるとわかる)
$|p_{i} - q_{i}| = \max(p_{i}, q_{i}) - \min(p_{i}, q_{i})$

となることからわかる。よって答えは、

$A \times {}_{2N}{\rm C}_{N}$

となる。計算量は $O(N \log N)$ 。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// modint
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) val += MOD;
    }
    constexpr int getmod() const { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream& is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        is >> x.val;
        x.val %= MOD;
        if (x.val < 0) x.val += MOD;
        return is;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream& os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD>& r, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        if (n < 0) return modpow(modinv(r), -n);
        auto t = modpow(r, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * r;
        return t;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modinv(const Fp<MOD>& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b, swap(a, b);
            u -= t * v, swap(u, v);
        }
        return Fp<MOD>(u);
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;

// Binomial coefficient
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].getmod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};


int main() {
    BiCoef<mint> bc(510000);
    int N;
    cin >> N;
    vector<long long> a(N*2);
    for (int i = 0; i < N*2; ++i) cin >> a[i];
    sort(a.begin(), a.end());
    mint zen = 0, kou = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i) zen += a[i], kou += a[i+N];
    cout << (kou - zen) * bc.com(N*2, N) << endl;
}

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