けんちょんの競プロ精進記録

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yukicoder No.972 選び方のスコア

すごく面白かった!!!

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問題概要

長さ  N の数列  a_{0}, a_{1}, \dots, a_{N-1} が与えられる。ここから何個か選ぶ。選んだ値を  b_{0}, b_{1}, \dots, b_{K-1} としたとき、そのスコアを以下のように定義する。

  • 選んだ値のメディアンを  m とする
    • 奇数個の場合は真ん中の値
    • 偶数個の場合は真ん中の 2 つの値の平均値
  • スコアは  \sum_{k = 0}^{K-1} (b_{k} - m) とする

スコアの最大値を求めよ。

制約

  •  1 \le N \le 2 \times 10^{5}

考えたこと

面白そう!!!!!!
とりあえずメディアンを固定して考えて見ることにした。偶数個を選ぶときはちょっと考えづらいので、まずは、奇数個選ぶ場合を考えて見る。メディアンの index を固定して考えて見る。このとき、まず

  • 数列を大きい順に k 個
  • 数列の median 以降から k 個

を選ぶ中に最適解があることがわかる。

f:id:drken1215:20200118005135p:plain

そしてこの  k の値って、実は全部調べなくてもわかる。数列の値を median の値を 0 にして、そこからの差分で表したとき、「左側 < 右側」となる瞬間から先は採用しない方がいい。この切れ目を二分探索で求めることができる。

f:id:drken1215:20200118005435p:plain

偶数個選ぶとき

実は奇数個選ぶ場合のみ考えればよい。まず、奇数個の場合は、「真ん中の 2 つの値」を固定して考えることになる。しかしこの場合、片方のみにすることでスコアが減少することはない!!!

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

template<class T> inline bool chmax(T& a, T b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<class T> inline bool chmin(T& a, T b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; }

#define COUT(x) cout << #x << " = " << (x) << " (L" << __LINE__ << ")" << endl
template<class T1, class T2> ostream& operator << (ostream &s, pair<T1,T2> P)
{ return s << '<' << P.first << ", " << P.second << '>'; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, vector<T> P)
{ for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { if (i > 0) { s << " "; } s << P[i]; } return s; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, vector<vector<T> > P)
{ for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { s << endl << P[i]; } return s << endl; }


int N;
vector<long long> a, s;

long long solve() {
    sort(a.begin(), a.end(), greater<long long>());
    s.assign(N+1, 0);
    for (int i = 0; i < N; ++i) s[i+1] = s[i] + a[i];
    long long res = 0;
    for (int median = 1; median < N-1; ++median) {
        int mak = min(median, N-1-median);
        int left = 1, right = mak + 1;
        while (right - left > 1) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (a[mid-1] - a[median] >= a[median] - a[median+mid]) left = mid;
            else right = mid;
        }
        long long tmp = s[median+1+left] - s[median+1] + s[left];
        tmp -= a[median] * left * 2;
        chmax(res, tmp);
    }
    return res;
}

int main() {
    while (cin >> N) {
        a.resize(N);
        for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> a[i];
        cout << solve() << endl;
    }
}