まさかの超典型な半分全列挙!!!(蟻本にもほぼ同じ問題あり!!)
問題概要
個の正の整数 と、正の整数 が与えられる。 個の整数の中からいくつか選んで総和をとる。その値が より大きくならない範囲内での、その値の最大値を求めよ。
制約
考えたこと
が大きくて が小さい場合は、いわゆる「部分和問題」で DP すると解ける。今回は がとても大きいので DP は使えない。そのかわり という制約が活かせそうに思える。
まずそもそも、単純に全探索した場合、整数の選び方には 通りの選択肢があるので、全部で の計算量となる。さすがにこれでは間に合わない。こういうとき、半分全列挙が有効なことがある。
今回で言えば、 個の整数を 個ずつに分けることにする。そしてそれぞれについての部分和 (いくつか選んだ総和) を全列挙することは可能である。それぞれ 程度の個数になる。よって問題は次の問題に帰着される。
- 2 つの数列 (サイズが 程度) が与えられる
- これらから 1 個ずつ要素をとって和をとった値が、 を超えない範囲での最大値を求めよ
たとえば のときは
となる。帰着された問題は、典型的な二分探索の問題となる。 の要素 () を固定して、
- を満たす最大の
を二分探索 (lower_bound など) によって求めれば OK。計算量は となる。
コード
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; template<class T> inline bool chmax(T& a, T b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; } template<class T> inline bool chmin(T& a, T b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; } #define COUT(x) cout << #x << " = " << (x) << " (L" << __LINE__ << ")" << endl template<class T1, class T2> ostream& operator << (ostream &s, pair<T1,T2> P) { return s << '<' << P.first << ", " << P.second << '>'; } template<class T> ostream& operator << (ostream &s, vector<T> P) { for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { if (i > 0) { s << " "; } s << P[i]; } return s; } template<class T> ostream& operator << (ostream &s, deque<T> P) { for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { if (i > 0) { s << " "; } s << P[i]; } return s; } template<class T> ostream& operator << (ostream &s, vector<vector<T> > P) { for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { s << endl << P[i]; } return s << endl; } template<class T> ostream& operator << (ostream &s, set<T> P) { for(auto it : P) { s << "<" << it << "> "; } return s << endl; } template<class T1, class T2> ostream& operator << (ostream &s, map<T1,T2> P) { for(auto it : P) { s << "<" << it.first << "->" << it.second << "> "; } return s << endl; } int main() { long long N, T; cin >> N >> T; vector<long long> A(N); for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i]; // 後半半分を列挙 vector<long long> q; for (int bit = 0; bit < (1<<(N-N/2)); ++bit) { long long sum = 0; for (int i = 0; i < N-N/2; ++i) if (bit & (1LL<<i)) sum += A[i+N/2]; q.push_back(sum); } sort(q.begin(), q.end()); q.push_back(1LL<<60); // 前半を固定して二分探索 long long res = 0; for (int bit = 0; bit < (1<<(N/2)); ++bit) { long long sum = 0; for (int i = 0; i < N/2; ++i) if (bit & (1LL<<i)) sum += A[i]; if (sum > T) continue; auto it = upper_bound(q.begin(), q.end(), T - sum) - q.begin(); --it; chmax(res, sum + q[it]); } cout << res << endl; }