けんちょんの競プロ精進記録

競プロの精進記録や小ネタを書いていきます

AtCoder ABC 356 F - Distance Component Size Query (3D, 黄色, 525 点)

苦手系の問題だけど、解けてよかった。

問題概要

正の整数  K が与えられる。はじめ空である集合  S が与えられるので、次のクエリに答えよ。

  • クエリタイプ 1 x:集合  S に整数値  x がない場合は挿入し、ある場合は削除する
  • クエリタイプ 2 x:集合  S に含まれる要素を頂点として、差が  K 以下である要素間には辺が張られるグラフを考えたとき、整数値  x に対応する頂点が含まれる連結成分のサイズを答えよ

制約

  •  1 \le Q \le 2 \times 10^{5}

考えたこと

まず、クエリ先読みして、座標圧縮することにする (座標圧縮したときの番号を、その要素の座標と呼ぶことにする)。そして、各要素について次の値を管理することとした。


  • num[v] ← 座標値が  v であるような要素が  S に含まれるとき 1、含まれないとき 0
  • left[v] ← 座標値が  v であるような要素について、その連結成分に含まれる要素の座標値の最小値
  • right[v] ← 座標値が  v であるような要素について、その連結成分に含まれる要素の座標値の最大値

これらの値を正しく管理できていれば、num を BIT で実現することによって、クエリ 2 には答えられる。つまり、配列 num の区間 [left[v], right[v] + 1) の総和を総和を求めればよい。

leftright の更新については、「区間値更新」がしたいとなる。たとえば、集合  S に座標値  v の要素を挿入するとき、それによって  v の前後の要素 ( p q とする) の間に辺が張られていなかったのが、張られるようになったときには、

  • 区間 [left[p], right[q] + 1) 全体について、
    • left の値を left[p] に更新する
    • right の値を right[q] に更新する

ということがしたい。こうしたことは遅延評価セグメント木で実現できる。なお、 S から要素を削除する場合についても、同様に考察できる。

全体の計算量は  O(Q \log Q) となる。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<class S, class T> inline bool chmax(S &a, T b) { return (a < b ? a = b, 1 : 0); }
template<class S, class T> inline bool chmin(S &a, T b) { return (a > b ? a = b, 1 : 0); }

// BIT を用いた集合型
template<class Abel> struct FastMultiSetByBIT {
    int topbit(int x) const { return (x == 0 ? -1 : 31 - __builtin_clz(x)); }
    int lowbit(int x) const { return (x == 0 ? -1 : __builtin_ctz(x)); }
    int lim;
    Abel IDENTITY;
    vector<Abel> dat;
    
    // [0, n)
    FastMultiSetByBIT(int n, Abel identity = 0)
    : lim(n), IDENTITY(identity), dat(n, identity) { }
    void init(int n, Abel identity = 0) {
        lim = n;
        IDENTITY = identity;
        dat.assign(n, IDENTITY);
    }
    
    // p is 0-indexed
    void add(int p, Abel x) {
        if (p < 0) p = 0;
        for (int i = p; i < (int)dat.size(); i |= i + 1)
            dat[i] = dat[i] + x;
    }
    
    // [0, p), p is 0-indexed
    Abel sum(int p) const {
        if (p > lim) p = lim;
        Abel res = IDENTITY;
        for (int i = p - 1; i >= 0; i = (i & (i + 1)) - 1)
            res = res + dat[i];
        return res;
    }
    
    // [l, r), l and r are 0-indexed
    Abel sum(int l, int r) const {
        return sum(r) - sum(l);
    }
    
    // insert, erase, count, min, max
    void insert(int x) { add(x, 1); }
    void erase(int x) { if (count(x)) add(x, -1); }
    Abel count(int x) const { return sum(x, x + 1); }
    Abel count(int l, int r) const { return sum(l, r); }
    Abel size() const { return sum(lim); }
    bool operator [] (int x) const { return count(x); }
    int get_min() const { return next(); }
    int get_max() const { return prev(); }

    // get max r s.t. check(sum(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // check(IDENTITY) must be True
    int max_right(const function<bool(Abel)> check, int l = 0) const {
        if (l >= lim) return lim;
        assert(check(IDENTITY));
        Abel s = IDENTITY;
        int k = 0;
        while (true) {
            if (l % 2 == 1) s = s - dat[l - 1], --l;
            if (l <= 0) {
                k = topbit(lim) + 1;
                break;
            }
            k = lowbit(l) - 1;
            if (l + (1 << k) > lim) break;
            if (!check(s + dat[l + (1 << k) - 1])) break;
            s = s - dat[l - 1];
            l -= l & -l;
        }
        while (k) {
            --k;
            if (l + (1 << k) - 1 < lim) {
                Abel ns = s + dat[l + (1 << k) - 1];
                if (check(ns)) {
                    l += (1 << k);
                    s = ns;
                }
            }
        }
        return l;
    }
    
    // get min l s.t. check(sum(l, r))  = True (0-indexed), O(log N)
    // check(IDENTITY) must be True
    int min_left(const function<bool(Abel)> check, int r = -1) const {
        if (r == -1) r = lim;
        if (r <= 0) return 0;
        assert(check(IDENTITY));
        Abel s = IDENTITY;
        int k = 0;
        while (r > 0 && check(s)) {
            s = s + dat[r - 1];
            k = lowbit(r);
            r -= r & -r;
        }
        if (check(s)) return 0;
        while (k) {
            --k;
            Abel ns = s - dat[r + (1 << k) - 1];
            if (!check(ns)) {
                r += (1 << k);
                s = ns;
            }
        }
        return r + 1;
    }
              
    // k-th number that is not less than l (k is 0-indexed)
    int get(Abel k, int l = 0) const {
        return max_right([&](Abel x) { return x <= k; }, l);
    }
    
    // next (including x)
    int next(int l = 0) const {
        if (l < 0) l = 0;
        if (l > lim) l = lim;
        return max_right([&](Abel x) { return x <= 0; }, l);
    }
    
    // prev (including x)
    int prev(int r) const {
        if (r > lim) r = lim;
        return min_left([&](Abel x) { return x <= 0; }, r + 1) - 1;
    }
    int prev() const {
        prev(lim);
    }
    
    // debug
    friend ostream& operator << (ostream &s, const FastMultiSetByBIT &fs) {
        for (int x = fs.get_min(); x < fs.lim; x = fs.next(x + 1)) {
            s << x << " ";
        }
        return s;
    }
};

// Lazy Segment Tree
template<class Monoid, class Action> struct LazySegmentTree {
    // various function types
    using FuncMonoid = function<Monoid(Monoid, Monoid)>;
    using FuncAction = function<Monoid(Action, Monoid)>;
    using FuncComposition = function<Action(Action, Action)>;

    // core member
    int N;
    FuncMonoid OP;
    FuncAction ACT;
    FuncComposition COMP;
    Monoid IDENTITY_MONOID;
    Action IDENTITY_ACTION;
    
    // inner data
    int log, offset;
    vector<Monoid> dat;
    vector<Action> lazy;
    
    // constructor
    LazySegmentTree() {}
    LazySegmentTree(int n, const FuncMonoid op, const FuncAction act, const FuncComposition comp,
                    const Monoid &identity_monoid, const Action &identity_action) {
        init(n, op, act, comp, identity_monoid, identity_action);
    }
    LazySegmentTree(const vector<Monoid> &v,
                    const FuncMonoid op, const FuncAction act, const FuncComposition comp,
                    const Monoid &identity_monoid, const Action &identity_action) {
        init(v, op, act, comp, identity_monoid, identity_action);
    }
    void init(int n, const FuncMonoid op, const FuncAction act, const FuncComposition comp,
              const Monoid &identity_monoid, const Action &identity_action) {
        N = n, OP = op, ACT = act, COMP = comp;
        IDENTITY_MONOID = identity_monoid, IDENTITY_ACTION = identity_action;
        log = 0, offset = 1;
        while (offset < N) ++log, offset <<= 1;
        dat.assign(offset * 2, IDENTITY_MONOID);
        lazy.assign(offset * 2, IDENTITY_ACTION);
    }
    void init(const vector<Monoid> &v,
              const FuncMonoid op, const FuncAction act, const FuncComposition comp,
              const Monoid &identity_monoid, const Action &identity_action) {
        init((int)v.size(), op, act, comp, identity_monoid, identity_action);
        build(v);
    }
    void build(const vector<Monoid> &v) {
        assert(N == (int)v.size());
        for (int i = 0; i < N; ++i) dat[i + offset] = v[i];
        for (int k = offset - 1; k > 0; --k) pull_dat(k);
    }
    int size() const {
        return N;
    }
    
    // basic functions for lazy segment tree
    void pull_dat(int k) {
        dat[k] = OP(dat[k * 2], dat[k * 2 + 1]);
    }
    void apply_lazy(int k, const Action &f) {
        dat[k] = ACT(f, dat[k]);
        if (k < offset) lazy[k] = COMP(f, lazy[k]);
    }
    void push_lazy(int k) {
        apply_lazy(k * 2, lazy[k]);
        apply_lazy(k * 2 + 1, lazy[k]);
        lazy[k] = IDENTITY_ACTION;
    }
    void pull_dat_deep(int k) {
        for (int h = 1; h <= log; ++h) pull_dat(k >> h);
    }
    void push_lazy_deep(int k) {
        for (int h = log; h >= 1; --h) push_lazy(k >> h);
    }
    
    // setter and getter, update A[i], i is 0-indexed, O(log N)
    void set(int i, const Monoid &v) {
        assert(0 <= i && i < N);
        int k = i + offset;
        push_lazy_deep(k);
        dat[k] = v;
        pull_dat_deep(k);
    }
    Monoid get(int i) {
        assert(0 <= i && i < N);
        int k = i + offset;
        push_lazy_deep(k);
        return dat[k];
    }
    Monoid operator [] (int i) {
        return get(i);
    }
    
    // apply f for index i
    void apply(int i, const Action &f) {
        assert(0 <= i && i < N);
        int k = i + offset;
        push_lazy_deep(k);
        dat[k] = ACT(f, dat[k]);
        pull_dat_deep(k);
    }
    // apply f for interval [l, r)
    void apply(int l, int r, const Action &f) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= N);
        if (l == r) return;
        l += offset, r += offset;
        for (int h = log; h >= 1; --h) {
            if (((l >> h) << h) != l) push_lazy(l >> h);
            if (((r >> h) << h) != r) push_lazy((r - 1) >> h);
        }
        int original_l = l, original_r = r;
        for (; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
            if (l & 1) apply_lazy(l++, f);
            if (r & 1) apply_lazy(--r, f);
        }
        l = original_l, r = original_r;
        for (int h = 1; h <= log; ++h) {
            if (((l >> h) << h) != l) pull_dat(l >> h);
            if (((r >> h) << h) != r) pull_dat((r - 1) >> h);
        }
    }
    
    // get prod of interval [l, r)
    Monoid prod(int l, int r) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= N);
        if (l == r) return IDENTITY_MONOID;
        l += offset, r += offset;
        for (int h = log; h >= 1; --h) {
            if (((l >> h) << h) != l) push_lazy(l >> h);
            if (((r >> h) << h) != r) push_lazy(r >> h);
        }
        Monoid val_left = IDENTITY_MONOID, val_right = IDENTITY_MONOID;
        for (; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
            if (l & 1) val_left = OP(val_left, dat[l++]);
            if (r & 1) val_right = OP(dat[--r], val_right);
        }
        return OP(val_left, val_right);
    }
    Monoid all_prod() {
        return dat[1];
    }
    
    // get max r that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int max_right(const function<bool(Monoid)> f, int l = 0) {
        if (l == N) return N;
        l += offset;
        push_lazy_deep(l);
        Monoid sum = IDENTITY_MONOID;
        do {
            while (l % 2 == 0) l >>= 1;
            if (!f(OP(sum, dat[l]))) {
                while (l < offset) {
                    push_lazy(l);
                    l = l * 2;
                    if (f(OP(sum, dat[l]))) {
                        sum = OP(sum, dat[l]);
                        ++l;
                    }
                }
                return l - offset;
            }
            sum = OP(sum, dat[l]);
            ++l;
        } while ((l & -l) != l);  // stop if l = 2^e
        return N;
    }

    // get min l that f(get(l, r)) = True (0-indexed), O(log N)
    // f(IDENTITY) need to be True
    int min_left(const function<bool(Monoid)> f, int r = -1) {
        if (r == 0) return 0;
        if (r == -1) r = N;
        r += offset;
        push_lazy_deep(r - 1);
        Monoid sum = IDENTITY_MONOID;
        do {
            --r;
            while (r > 1 && (r % 2)) r >>= 1;
            if (!f(OP(dat[r], sum))) {
                while (r < offset) {
                    push_lazy(r);
                    r = r * 2 + 1;
                    if (f(OP(dat[r], sum))) {
                        sum = OP(dat[r], sum);
                        --r;
                    }
                }
                return r + 1 - offset;
            }
            sum = OP(dat[r], sum);
        } while ((r & -r) != r);
        return 0;
    }
    
    // debug stream
    friend ostream& operator << (ostream &s, LazySegmentTree seg) {
        for (int i = 0; i < (int)seg.size(); ++i) {
            s << seg[i];
            if (i != (int)seg.size() - 1) s << " ";
        }
        return s;
    }
    
    // dump
    void dump() {
        for (int i = 0; i <= log; ++i) {
            for (int j = (1 << i); j < (1 << (i + 1)); ++j) {
                cout << "{" << dat[j] << "," << lazy[j] << "} ";
            }
            cout << endl;
        }
    }
};

#define DEBUG 1
#define COUT(x) if (DEBUG) cout << #x << " = " << (x) << " (L" << __LINE__ << ")" << endl
template<class T1, class T2> ostream& operator << (ostream &s, pair<T1,T2> P)
{ return s << '<' << P.first << ", " << P.second << '>'; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, vector<T> P)
{ for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { if (i > 0) { s << " "; } s << P[i]; } return s; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, deque<T> P)
{ for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { if (i > 0) { s << " "; } s << P[i]; } return s; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, vector<vector<T> > P)
{ for (int i = 0; i < P.size(); ++i) { s << endl << P[i]; } return s << endl; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, set<T> P)
{ for (auto it : P) { s << "<" << it << "> "; } return s; }
template<class T> ostream& operator << (ostream &s, multiset<T> P)
{ for (auto it : P) { s << "<" << it << "> "; } return s; }
template<class T1, class T2> ostream& operator << (ostream &s, map<T1,T2> P)
{ for (auto it : P) { s << "<" << it.first << "->" << it.second << "> "; } return s; }



int main() {
    // 入力と座標圧縮
    long long Q, K;
    cin >> Q >> K;
    vector<long long> type(Q), X(Q), v(Q), alt;
    for (int i = 0; i < Q; ++i) {
        cin >> type[i] >> X[i];
        alt.push_back(X[i]);
    }
    sort(alt.begin(), alt.end());
    alt.erase(unique(alt.begin(), alt.end()), alt.end());
    for (int i = 0; i < Q; ++i) {
        v[i] = lower_bound(alt.begin(), alt.end(), X[i]) - alt.begin();
    }
    
    // N 未満の非負整数値を管理する集合型
    int N = alt.size();
    FastMultiSetByBIT<long long> fs(N);
    
    // 遅延評価セグメント木
    auto op = [&](int a, int b) { return max(a, b); };
    auto mapping = [&](int f, int x) { return (f == -1 ? x : f); };
    auto composition = [&](int g, int f) { return (g == -1 ? f : g); };
    const int NUL = -10;
    LazySegmentTree<int, int> left(N, op, mapping, composition, NUL, -1);
    LazySegmentTree<int, int> right(N, op, mapping, composition, NUL, -1);

    // クエリ処理
    for (int q = 0; q < Q; ++q) {
        int cur = v[q];
        int pre = fs.prev(cur-1), nex = fs.next(cur+1);
        
        if (type[q] == 1) {
            if (!fs.count(cur)) {
                // S が alt[cur] を持たないとき
                fs.insert(cur);
                int l = cur, r = cur;
                if (pre >= 0 && alt[cur] - alt[pre] <= K) chmin(l, left[pre]);
                if (nex < N && alt[nex] - alt[cur] <= K) chmax(r, right[nex]);
                left.apply(l, r + 1, l), right.apply(l, r + 1, r);
            } else {
                // S が alt[cur] を持つとき
                fs.erase(cur);
                int l = cur, r = cur;
                if (pre >= 0 && alt[cur] - alt[pre] <= K) chmin(l, left[pre]);
                if (nex < N && alt[nex] - alt[cur] <= K) chmax(r, right[nex]);
                
                if (pre < 0) {
                    left.apply(0, nex, NUL), right.apply(0, nex, NUL);
                    if (nex < r+1) left.apply(nex, r+1, nex);
                } else if (nex >= N) {
                    left.apply(pre+1, N, NUL), right.apply(pre+1, N, NUL);
                    if (l < pre+1) right.apply(l, pre+1, pre);
                } else if (alt[nex] - alt[pre] > K) {
                    left.apply(pre+1, nex, -1), right.apply(pre+1, nex, -1);
                    if (nex < r+1) left.apply(nex, r+1, nex);
                    if (l < pre+1) right.apply(l, pre+1, pre);
                }
            }
        } else {
            int l = left[cur], r = right[cur];
            cout << fs.count(l, r + 1) << endl;
        }
    }
}