これも会社のバチャでやった!!!
我今カタラン数を語らんとす
問題概要
を 個ずつの 2 組にわける。それぞれの組の値を と とする。
このとき、各 に対して or が与えられて
- のとき
- のとき
を満たすようなものが何通りあるかを求めよ。
制約
考えたこと
下図のような関係性において、◻︎ を で埋めよ、という問題だと思うことができる。
そして上の場合について少し考えてみると、
- 最初の 1 が 3 個横に連続している区間については 1, 2, 3, 4, 5, 6 の並び替えが入る (そして 7 以上は入らない)
ということがわかる。なぜなら下図のように、
- 赤く塗りつぶしたマスは、薄赤で塗りつぶした 6 個のマスの中で最大の値である
- 青く塗りつぶしたマスは、薄青で塗りつぶした 4 個のマスの中で最小の値である
という状態になっていて、なおかつ
- (赤く塗りつぶしたマスの値) < (青く塗りつぶしたマスの値)
となっているからだ。
すなわち、薄赤で塗りつぶした 6 個のマスはすべて、薄青で塗りつぶした 4 個のマスのどの値よりも小さい。よって、薄赤で塗りつぶした 6 個のマスは 1, 2, 3, 4, 5, 6 の並び替えとなる。
同様にして、薄青で塗りつぶした 4 個のマスは 7, 8, 9, 10 の並び替えになっていて、以後、「1 の連続区間」と「0 の連続区間」を繰り返すたびに、それらが連続自然数の並び替えになっていることがわかる。
以上から、各連続区間ごとに問題を分割して考えてよいことがわかった。
連続区間に帰着すると...カタラン数!
下図のような数字の書き込み方は、
実は下のようなカッコ列に対応する
()(())
すなわち、b を左カッコ、右 を左カッコに対応させ、b の各数字の index に左カッコを、a の各数字の index に右カッコを書くのだ。
そうすると、マスの穴埋めと、カッコ列とが一対一対応し、しかも不等号条件は「カッコ列が整合する」という条件に対応するのだ。
そしてよく知られたことだが、左カッコと右カッコが 個ずつ使って整合のとれたカッコ列を作る方法は
- 通り
なのだ。これをカタラン数とよぶ。
まとめ
- 「同じ数値の連続している区間」それぞれについて、その長さを として
- 番目のカタラン数を掛け算する
とすれば OK。
#include <iostream> #include <vector> #include <string> using namespace std; // modint: mod 計算を int を扱うように扱える構造体 template<int MOD> struct Fp { long long val; constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) { if (val < 0) v += MOD; } constexpr int getmod() { return MOD; } constexpr Fp operator - () const noexcept { return val ? MOD - val : 0; } constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; } constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; } constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; } constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; } constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept { val += r.val; if (val >= MOD) val -= MOD; return *this; } constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept { val -= r.val; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept { val = val * r.val % MOD; return *this; } constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept { long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0; while (b) { long long t = a / b; a -= t * b; swap(a, b); u -= t * v; swap(u, v); } val = val * u % MOD; if (val < 0) val += MOD; return *this; } constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept { return this->val == r.val; } constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept { return this->val != r.val; } friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept { return os << x.val; } friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD>& x) noexcept { return is >> x.val; } friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept { if (n == 0) return 1; auto t = modpow(a, n / 2); t = t * t; if (n & 1) t = t * a; return t; } }; // 二項係数ライブラリ template<class T> struct BiCoef { vector<T> fact_, inv_, finv_; constexpr BiCoef() {} constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) { init(n); } constexpr void init(int n) noexcept { fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1); int MOD = fact_[0].getmod(); for(int i = 2; i < n; i++){ fact_[i] = fact_[i-1] * i; inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i); finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i]; } } constexpr T com(int n, int k) const noexcept { if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0; return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k]; } constexpr T fact(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return fact_[n]; } constexpr T inv(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return inv_[n]; } constexpr T finv(int n) const noexcept { if (n < 0) return 0; return finv_[n]; } }; const int MOD = 998244353; using mint = Fp<MOD>; BiCoef<mint> bc; int main() { int N; string S; cin >> N >> S; bc.init(210000); mint res = 1; for (int i = 0; i < S.size();) { int j = i; while (j < S.size() && S[j] == S[i]) ++j; int n = j - i; res *= bc.com(n*2, n) - bc.com(n*2, n-1); i = j; } cout << res << endl; }