2019-10-19

KUPC 2019 D - Maximin Game

AtCoder KUPC カタラン数二項係数数え上げ問題テク:区間ごとに分割するカッコ列有志コン区間

これも会社のバチャでやった！！！
我今カタラン数を語らんとす

問題へのリンク

問題概要

$1, 2, \dots, 2N$ を $N$ 個ずつの 2 組にわける。それぞれの組の値を $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_N$ と $b_1 \le b_2 \le \dots \le b_N$ とする。

このとき、各 $i = 1, 2, \dots, N$ に対して $c_i = 0$ or $1$ が与えられて

$c_i = 1$ のとき $a_i \gt b_i$
$c_i = 0$ のとき $a_i \lt b_i$

を満たすようなものが何通りあるかを求めよ。

制約

$1 \le N \le 10^{5}$

考えたこと

下図のような関係性において、◻︎ を $1, 2, \dots, 2N$ で埋めよ、という問題だと思うことができる。

そして上の場合について少し考えてみると、

最初の 1 が 3 個横に連続している区間については 1, 2, 3, 4, 5, 6 の並び替えが入る (そして 7 以上は入らない)

ということがわかる。なぜなら下図のように、

赤く塗りつぶしたマスは、薄赤で塗りつぶした 6 個のマスの中で最大の値である
青く塗りつぶしたマスは、薄青で塗りつぶした 4 個のマスの中で最小の値である

という状態になっていて、なおかつ

(赤く塗りつぶしたマスの値) < (青く塗りつぶしたマスの値)

となっているからだ。

すなわち、薄赤で塗りつぶした 6 個のマスはすべて、薄青で塗りつぶした 4 個のマスのどの値よりも小さい。よって、薄赤で塗りつぶした 6 個のマスは 1, 2, 3, 4, 5, 6 の並び替えとなる。

同様にして、薄青で塗りつぶした 4 個のマスは 7, 8, 9, 10 の並び替えになっていて、以後、「1 の連続区間」と「0 の連続区間」を繰り返すたびに、それらが連続自然数の並び替えになっていることがわかる。

以上から、各連続区間ごとに問題を分割して考えてよいことがわかった。

連続区間に帰着すると...カタラン数！

下図のような数字の書き込み方は、

実は下のようなカッコ列に対応する

()(())

すなわち、b を左カッコ、右を左カッコに対応させ、b の各数字の index に左カッコを、a の各数字の index に右カッコを書くのだ。

そうすると、マスの穴埋めと、カッコ列とが一対一対応し、しかも不等号条件は「カッコ列が整合する」という条件に対応するのだ。

そしてよく知られたことだが、左カッコと右カッコが $n$ 個ずつ使って整合のとれたカッコ列を作る方法は

${}_{2n}{\rm C}_{n} - {}_{2n}{\rm C}_{n-1}$ 通り

なのだ。これをカタラン数とよぶ。

まとめ

「同じ数値の連続している区間」それぞれについて、その長さを $n$ として
$n$ 番目のカタラン数を掛け算する

とすれば OK。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;


// modint: mod 計算を int を扱うように扱える構造体
template<int MOD> struct Fp {
    long long val;
    constexpr Fp(long long v = 0) noexcept : val(v % MOD) {
        if (val < 0) v += MOD;
    }
    constexpr int getmod() { return MOD; }
    constexpr Fp operator - () const noexcept {
        return val ? MOD - val : 0;
    }
    constexpr Fp operator + (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) += r; }
    constexpr Fp operator - (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) -= r; }
    constexpr Fp operator * (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) *= r; }
    constexpr Fp operator / (const Fp& r) const noexcept { return Fp(*this) /= r; }
    constexpr Fp& operator += (const Fp& r) noexcept {
        val += r.val;
        if (val >= MOD) val -= MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator -= (const Fp& r) noexcept {
        val -= r.val;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator *= (const Fp& r) noexcept {
        val = val * r.val % MOD;
        return *this;
    }
    constexpr Fp& operator /= (const Fp& r) noexcept {
        long long a = r.val, b = MOD, u = 1, v = 0;
        while (b) {
            long long t = a / b;
            a -= t * b; swap(a, b);
            u -= t * v; swap(u, v);
        }
        val = val * u % MOD;
        if (val < 0) val += MOD;
        return *this;
    }
    constexpr bool operator == (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val == r.val;
    }
    constexpr bool operator != (const Fp& r) const noexcept {
        return this->val != r.val;
    }
    friend constexpr ostream& operator << (ostream &os, const Fp<MOD>& x) noexcept {
        return os << x.val;
    }
    friend constexpr istream& operator >> (istream &is, Fp<MOD>& x) noexcept {
        return is >> x.val;
    }
    friend constexpr Fp<MOD> modpow(const Fp<MOD> &a, long long n) noexcept {
        if (n == 0) return 1;
        auto t = modpow(a, n / 2);
        t = t * t;
        if (n & 1) t = t * a;
        return t;
    }
};

// 二項係数ライブラリ
template<class T> struct BiCoef {
    vector<T> fact_, inv_, finv_;
    constexpr BiCoef() {}
    constexpr BiCoef(int n) noexcept : fact_(n, 1), inv_(n, 1), finv_(n, 1) {
        init(n);
    }
    constexpr void init(int n) noexcept {
        fact_.assign(n, 1), inv_.assign(n, 1), finv_.assign(n, 1);
        int MOD = fact_[0].getmod();
        for(int i = 2; i < n; i++){
            fact_[i] = fact_[i-1] * i;
            inv_[i] = -inv_[MOD%i] * (MOD/i);
            finv_[i] = finv_[i-1] * inv_[i];
        }
    }
    constexpr T com(int n, int k) const noexcept {
        if (n < k || n < 0 || k < 0) return 0;
        return fact_[n] * finv_[k] * finv_[n-k];
    }
    constexpr T fact(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return fact_[n];
    }
    constexpr T inv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return inv_[n];
    }
    constexpr T finv(int n) const noexcept {
        if (n < 0) return 0;
        return finv_[n];
    }
};

const int MOD = 998244353;
using mint = Fp<MOD>;
BiCoef<mint> bc;


int main() {
    int N; string S;
    cin >> N >> S;

    bc.init(210000);
    mint res = 1;
    for (int i = 0; i < S.size();) {
        int j = i;
        while (j < S.size() && S[j] == S[i]) ++j;
        int n = j - i;
        res *= bc.com(n*2, n) - bc.com(n*2, n-1);
        i = j;
    }
    cout << res << endl;
}