最小包含円と似て異なる問題。
問題概要
二次元平面上に 個の点がある。
半径 1 の円を上手に配置したときに、その中に含めることにできる点の個数の最大値を求めよ。
制約
考えたこと
「 点のうち 2 点を通る半径 1 の円」に探索候補を絞ってよい。計算量は
- 円の候補:
- その円に含まれる点の個数を求める:
ということで となって十分間に合う。
2 点 a, b を通る半径 1 の円の求め方
a を中心とする半径 1 の円と、b を中心とする半径 1 の円の交点を求めて、それらを中心とすれば OK。
誤差
EPS を適当にやると通らなくて、1e-4 にしたら通った。
#include <iostream> #include <iomanip> #include <vector> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; //////////////////////////// // 基本要素 (点, 線分, 円) //////////////////////////// using DD = double; const DD INF = 1LL<<60; // to be set appropriately const DD EPS = 1e-4; // to be set appropriately const DD PI = acosl(-1.0); DD torad(int deg) {return (DD)(deg) * PI / 180;} DD todeg(DD ang) {return ang * 180 / PI;} /* Point */ struct Point { DD x, y; Point(DD x = 0.0, DD y = 0.0) : x(x), y(y) {} friend ostream& operator << (ostream &s, const Point &p) {return s << '(' << p.x << ", " << p.y << ')';} }; inline Point operator + (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x + q.x, p.y + q.y);} inline Point operator - (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x - q.x, p.y - q.y);} inline Point operator * (const Point &p, DD a) {return Point(p.x * a, p.y * a);} inline Point operator * (DD a, const Point &p) {return Point(a * p.x, a * p.y);} inline Point operator * (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x * q.x - p.y * q.y, p.x * q.y + p.y * q.x);} inline Point operator / (const Point &p, DD a) {return Point(p.x / a, p.y / a);} inline Point conj(const Point &p) {return Point(p.x, -p.y);} inline Point rot(const Point &p, DD ang) {return Point(cos(ang) * p.x - sin(ang) * p.y, sin(ang) * p.x + cos(ang) * p.y);} inline Point rot90(const Point &p) {return Point(-p.y, p.x);} inline DD cross(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.y - p.y * q.x;} inline DD dot(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.x + p.y * q.y;} inline DD norm(const Point &p) {return dot(p, p);} inline DD abs(const Point &p) {return sqrt(dot(p, p));} inline DD amp(const Point &p) {DD res = atan2(p.y, p.x); if (res < 0) res += PI*2; return res;} inline bool eq(const Point &p, const Point &q) {return abs(p - q) < EPS;} inline bool operator < (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x < q.x : p.y < q.y);} inline bool operator > (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x > q.x : p.y > q.y);} inline Point operator / (const Point &p, const Point &q) {return p * conj(q) / norm(q);} /* Line */ struct Line : vector<Point> { Line(Point a = Point(0.0, 0.0), Point b = Point(0.0, 0.0)) { this->push_back(a); this->push_back(b); } friend ostream& operator << (ostream &s, const Line &l) {return s << '{' << l[0] << ", " << l[1] << '}';} }; /* Circle */ struct Circle : Point { DD r; Circle(Point p = Point(0.0, 0.0), DD r = 0.0) : Point(p), r(r) {} friend ostream& operator << (ostream &s, const Circle &c) {return s << '(' << c.x << ", " << c.y << ", " << c.r << ')';} }; //////////////////////////// // 円や直線の交点 //////////////////////////// Point proj_for_crosspoint(const Point &p, const Line &l) { DD t = dot(p - l[0], l[1] - l[0]) / norm(l[1] - l[0]); return l[0] + (l[1] - l[0]) * t; } vector<Point> crosspoint(const Line &l, const Line &m) { vector<Point> res; DD d = cross(m[1] - m[0], l[1] - l[0]); if (abs(d) < EPS) return vector<Point>(); res.push_back(l[0] + (l[1] - l[0]) * cross(m[1] - m[0], m[1] - l[0]) / d); return res; } vector<Point> crosspoint(const Circle &e, const Circle &f) { vector<Point> res; DD d = abs(e - f); if (d < EPS) return vector<Point>(); if (d > e.r + f.r + EPS) return vector<Point>(); if (d < abs(e.r - f.r) - EPS) return vector<Point>(); DD rcos = (d * d + e.r * e.r - f.r * f.r) / (2.0 * d), rsin; if (e.r - abs(rcos) < EPS) rsin = 0; else rsin = sqrt(e.r * e.r - rcos * rcos); Point dir = (f - e) / d; Point p1 = e + dir * Point(rcos, rsin); Point p2 = e + dir * Point(rcos, -rsin); res.push_back(p1); if (!eq(p1, p2)) res.push_back(p2); return res; } vector<Point> crosspoint(const Circle &e, const Line &l) { vector<Point> res; Point p = proj_for_crosspoint(e, l); DD rcos = abs(e - p), rsin; if (rcos > e.r + EPS) return vector<Point>(); else if (e.r - rcos < EPS) rsin = 0; else rsin = sqrt(e.r * e.r - rcos * rcos); Point dir = (l[1] - l[0]) / abs(l[1] - l[0]); Point p1 = p + dir * rsin; Point p2 = p - dir * rsin; res.push_back(p1); if (!eq(p1, p2)) res.push_back(p2); return res; } int main() { int N; while (cin >> N, N) { vector<Point> v(N); for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> v[i].x >> v[i].y; vector<Point> alt; for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = i+1; j < N; ++j) { Circle c1(v[i], 1.0), c2(v[j], 1.0); auto cp = crosspoint(c1, c2); for (auto p : cp) alt.push_back(p); } } int res = 1; for (auto p : alt) { int tmp = 0; for (auto q : v) if (abs(p-q) < 1.0 + EPS) ++tmp; res = max(res, tmp); } cout << res << endl; } }