AOJ 3056 Equilateral Triangle (RUPC 2019 day2-F)

計算量的な詰めが甘かった。二分探索要らなかった。

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問題概要

凸な 角形が与えられる。この 角形を完全に含むような正三角形の一辺の長さの最小値を求めよ。

制約

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考えたこと

座標系として くらいの大きさまであるので、EPS は くらいがいいのかなという気持ちになる。

さて、まず自明にわかることとしては「正三角形の各辺について、多角形の頂点のいずれかが乗っている」ということは言える。さらに踏み込んで実は

---

最適解において、多角形のうちの一辺は正三角形と辺を共有しているとしてよい

---

ということが言える。きちんと証明するのは大変だが、もしそうでないとすると左右それぞれの向きに正三角形を回転させることができて、どちらかには正三角形のサイズが減少することが直感的にも言える。

よって、 角系のうちの各辺について 通り全探索して、その状態で 角形を覆う正三角形の一辺の最小値を求めればよい。

いろんな方法がありそうだが、僕は

• 辺 (i, i+1) についての探索を行うとき、頂点 i が原点、辺 (i, i+1) が x 軸上に乗るような向きになるように多角形全体を平行移動&回転させる

という風にしてみた。そうすることで、

• 各頂点から左右に斜め 60 度下方向にビームを発射して、x 軸との交わる点を見ればよく、それは簡単な算数で計算できる

という状態になる。まとめると計算量は となる。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;

////////////////////////////
// 基本要素 (点, 線分)
////////////////////////////

using DD = double;
const DD INF = 1LL<<35;      // to be set appropriately
const DD EPS = 1e-6;        // to be set appropriately
const DD PI = acos(-1.0);
DD torad(int deg) {return (DD)(deg) * PI / 180;}
DD todeg(DD ang) {return ang * 180 / PI;}

/* Point */
struct Point {
    DD x, y;
    Point(DD x = 0.0, DD y = 0.0) : x(x), y(y) {}
    friend ostream& operator << (ostream &s, const Point &p) {return s << '(' << p.x << ", " << p.y << ')';}
};
inline Point operator + (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x + q.x, p.y + q.y);}
inline Point operator - (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x - q.x, p.y - q.y);}
inline Point operator * (const Point &p, DD a) {return Point(p.x * a, p.y * a);}
inline Point operator * (DD a, const Point &p) {return Point(a * p.x, a * p.y);}
inline Point operator * (const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x * q.x - p.y * q.y, p.x * q.y + p.y * q.x);}
inline Point operator / (const Point &p, DD a) {return Point(p.x / a, p.y / a);}
inline Point conj(const Point &p) {return Point(p.x, -p.y);}
inline Point rot(const Point &p, DD ang) {return Point(cos(ang) * p.x - sin(ang) * p.y, sin(ang) * p.x + cos(ang) * p.y);}
inline Point rot90(const Point &p) {return Point(-p.y, p.x);}
inline DD cross(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.y - p.y * q.x;}
inline DD dot(const Point &p, const Point &q) {return p.x * q.x + p.y * q.y;}
inline DD norm(const Point &p) {return dot(p, p);}
inline DD abs(const Point &p) {return sqrt(dot(p, p));}
inline DD amp(const Point &p) {DD res = atan2(p.y, p.x); if (res < 0) res += PI*2; return res;}
inline bool eq(const Point &p, const Point &q) {return abs(p - q) < EPS;}
inline bool operator < (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x < q.x : p.y < q.y);}
inline bool operator > (const Point &p, const Point &q) {return (abs(p.x - q.x) > EPS ? p.x > q.x : p.y > q.y);}
inline Point operator / (const Point &p, const Point &q) {return p * conj(q) / norm(q);}


DD solve(int i, const vector<Point> &vp) {
    // vp[i] が原点に、辺 (vp[i], vp[i+1]) が x 軸上正の向きに来るように回転する
    int N = vp.size();
    Point p = vp[i];
    Point q = vp[(i+1) % N];
    DD th = atan2(q.y - p.y, q.x - p.x);
    vector<Point> nvp = vp;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        nvp[i] = nvp[i] - p;
        nvp[i] = rot(nvp[i], -th);
    }

    // 各頂点から左右に 60 度の方向にビームを打つ
    DD mi = 0, ma = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        mi = min(mi, nvp[i].x - nvp[i].y / sqrt(3.0));
        ma = max(ma, nvp[i].x + nvp[i].y / sqrt(3.0));
    }
    return ma - mi;
}


int main() {
    int N; cin >> N;
    vector<Point> vp(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> vp[i].x >> vp[i].y;

    DD res = INF;
    for (int i = 0; i < N; ++i) res = min(res, solve(i, vp));
    cout << fixed << setprecision(10) << res << endl;
}