問題概要

$N$ 個の正の整数 $a_1, a_2, \dots, a_N$ が与えられる。これらのうちから何個か選んで XOR 和をとってできる値が何通りあるか求めよ。

制約

$1 \le N \le 10^{5}$
$1 \le a_i \le 2^{60}$

考えたこと

$2^{60}$ 以下の正の整数というのは二進法展開すると F2 体上の 60 次元ベクトルとみなせる。

そして XOR 和をとるというのは、それらのベクトルの線形結合とみなせる。ここで、F2 体では、線形結合をとるときの定数倍の定数のところが実質 0 と 1 の 2 通りしかないことに注意する。

よって、XOR 和でできる数は、数を 60 次元ベクトルとみなしたときの線形結合でできるベクトル全体とピッタリ一致する。

よって線形代数の問題になった。 $N$ 本のベクトルのうち一次独立な最大本数 $m$ がわかれば $2^{m}$ が答えとなる。

これは、 $N$ 本のベクトルを並べた行列のランクに対応づけることができて、掃き出し法によって求められる。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <bitset>
using namespace std;
#define COUT(x) cout<<#x<<" = "<<(x)<<" (L"<<__LINE__<<")"<<endl


const int MAX_ROW = 65; // to be set appropriately
const int MAX_COL = 110000; // to be set appropriately
struct BitMatrix {
    int H, W;
    bitset<MAX_COL> val[MAX_ROW];
    BitMatrix(int m = 1, int n = 1) : H(m), W(n) {}
    inline bitset<MAX_COL>& operator [] (int i) {return val[i];}
};

ostream& operator << (ostream& s, BitMatrix A) {
    s << endl; 
    for (int i = 0; i < A.H; ++i) {
        for (int j = 0; j < A.W; ++j) {
            s << A[i][j] << ", ";
        }
        s << endl;
    }
    return s;
}

int GaussJordan(BitMatrix &A, bool is_extended = false) {
    int rank = 0;
    for (int col = 0; col < A.W; ++col) {
        if (is_extended && col == A.W - 1) break;
        int pivot = -1;
        for (int row = rank; row < A.H; ++row) {
            if (A[row][col]) {
                pivot = row;
                break;
            }
        }
        if (pivot == -1) continue;
        swap(A[pivot], A[rank]);
        for (int row = 0; row < A.H; ++row) {
            if (row != rank && A[row][col]) A[row] ^= A[rank];
        }
        ++rank;
    }
    return rank;
}

int linear_equation(BitMatrix A, vector<int> b, vector<int> &res) {
    int m = A.H, n = A.W;
    BitMatrix M(m, n + 1);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) M[i][j] = A[i][j];
        M[i][n] = b[i];
    }
    int rank = GaussJordan(M, true);

    // check if it has no solution
    for (int row = rank; row < m; ++row) if (M[row][n]) return -1;

    // answer
    res.assign(n, 0);
    for (int i = 0; i < rank; ++i) res[i] = M[i][n];
    return rank;
}


    
int main() {
    int N; cin >> N;
    vector<long long> a(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> a[i];

    const int DIGIT = 61;
    BitMatrix A(DIGIT, N);
    for (int d = 0; d < DIGIT; ++d) {
        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            if (a[i] & (1LL<<d)) A[d][i] = 1;
        }
    }
    int rank = GaussJordan(A);
    cout << (1LL<<rank) << endl;
}

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yukicoder No.184 たのしい排他的論理和(HARD)

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考えたこと